Integrale complicato

[Erick1]

Buongiorno, come si risolve il seguente integrale definito?

$\int_1^3 sqrt(4-(x-3)^2)dx$


Grazie in anticipo!

[Lo_zio_Tom]

ci sono diverse strade

[Lo_zio_Tom]

per parti oppure con sostituzione trigonometrica

[Lo_zio_Tom]

per parti è più articolato ma anche più interessante dal punto di vista del ragionamento:

innanzi tutto possiamo eliminare $(x-3)$ che è scomodo con $(x-3)=t$ tanto il differenziale non cambia....

(lo svolgo indefinito....poi sostituirai tu...)

[Lo_zio_Tom]

quindi l'integrale diventa:

$intsqrt(4-t^2)dt=tsqrt(4-t^2)-int(-t^2)/sqrt(4-t^2)dt$

$intsqrt(4-t^2)dt=tsqrt(4-t^2)-int(4-t^2-4)/sqrt(4-t^2)dt$

$intsqrt(4-t^2)dt=tsqrt(4-t^2)-intsqrt(4-t^2)dt+int4/sqrt(4-t^2)dt$


$intsqrt(4-t^2)dt=t/2sqrt(4-t^2)+1/2int4/sqrt(4-t^2)dt$


l'integrale al secondo membro ora è facilemente riconducibile ad un integrale immediato (arcsenx), fatte le opportune operazioncine di modifica dei coefficienti

[Lo_zio_Tom]

sei in grado di proseguire da solo?

altrimenti con la seguente sostituzione trigonometrica


$t=2sen u$


risolvi subito e senza problemi...però ti perdi il bello del ragionamento, secondo me

[Erick1]

Grazie, risolvere per parti effettivamente non lo avevo pensato proprio...
Per $u$ cosa intendi?

[Lo_zio_Tom]

l'ultimo integrale lo puoi risolvere così:


$1/2int4/sqrt(4-t^2)dt=2int1/sqrt(4-t^2)dt=2int1/sqrt(1-(t/2)^2)d(t/2)=2arcsen(t/2)$

[Lo_zio_Tom]

"Erick":Grazie, risolvere per parti effettivamente non lo avevo pensato proprio...
Per $u$ cosa intendi?

intendo una ulteriore sostituzione....

ma se posso evitarle le evito....siccome non risolvo integrali per dovere ma solo per piacere preferisco trovare soluzioni interessanti

[Erick1]

Io avevo pensato di risolverlo in questo modo:
L'integrale di partenza dovrebbe essere riscrivibile così: $2\int_1^3(sqrt(1-((x-3)/2)^2))dx$
In tal modo potrei andare a sostituire: $(x-3)/2=sent$ In questo modo gli estremi dell'integrale definito mi diventano arcsen (0) e arcsen(-1)
Dunque l'integrale diventa: $4\int_(arcsen(-1))^(arcsen(0))(cost)^2dx$
Risolvendolo, verrebbe come primitiva $2t+2costsent$
Il mio dubbio (ammesso che quanto scritto fino ad ora sia giusto) arriva a questo punto:
Arcsen(0) lo devo valutare come 2pi, oppure pi oppure ancora 0?
Perché a seconda del valore che vi attribuisco il risultato cambia...

[Lo_zio_Tom]

il procedimento è giusto....

$arcsen(0)=0$

la funzione $y=arcsen(x)$ è definita in $[-1;1]$

[Erick1]

Perfetto, dunque se arcsen(0)=0 il risultato finale sarebbe $-3pi$, giusto?

[Lo_zio_Tom]

no

[Lo_zio_Tom]

viene così:


$[t/2sqrt(4-t^2)]_(-2)^(0)+2[arcsen(t/2)]_(-2)^(0)=0+2[0-arcsen(-1)]=2\cdotpi/2=pi$

[Erick1]

Ahn , ho capito dove sbaglio, io ho considerato $arcsen(-1)=3/2pi$
Una curiosità, ma perché arcsen(-1) è $-pi/2$ e non invece $3/2pi$?

[Lo_zio_Tom]

"Erick":
Una curiosità, ma perché arcsen(-1) è $-pi/2$ e non invece $3/2pi$?

guarda il grafco della funzione.....

[Erick1]

Giusto Grazie mille!!!