Integrale complicato
Salve a tutti!
Qualcuno saprebbe per caso aiutarmi con questo integrale?
che valore deve necessariamente avere a affinché sia vera la seguente espressione?
\( \int_{0}^{\infty } ax^c e^{(x/c)^b} dx \) =1
io ho provato a risolverlo per parti ma non sono riuscita ad arrivare a un punto.
Non è che per caso va svolto per sostituzione e c'è di mezzo qualche funzione Gamma??
Qualcuno riesce a risolverlo?? grazie
Qualcuno saprebbe per caso aiutarmi con questo integrale?
che valore deve necessariamente avere a affinché sia vera la seguente espressione?
\( \int_{0}^{\infty } ax^c e^{(x/c)^b} dx \) =1
io ho provato a risolverlo per parti ma non sono riuscita ad arrivare a un punto.
Non è che per caso va svolto per sostituzione e c'è di mezzo qualche funzione Gamma??
Qualcuno riesce a risolverlo?? grazie
Risposte
Ma \(c\) e \(b\)?
c e b non erano date nel testo credo sia necessario trovare a in funzione di c e b; purtroppo l'esercizio è posto cosi non ci sono altri chiarimenti nella traccia 
Ciao 4le11 
In effetti anche a me è quasi subito saltata all'occhio la distribuzione Gamma e pertanto anche la funzione Gamma che è appunto richiamata in questa. Allora, poiché la distribuzione Gamma è una distribuzione di probabilità nel continuo se indichiamo con $f(x)$ la funzione di densità di probabilità di questa deve essere che $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) = 1$ (questo comunque vale per tutte le distribuzioni continue di probabilità). Nella fattispecie la distribuzione gamma è definita soltanto nei reali positivi e pertanto nel nostro caso specifico avremo $\int_{0}^{+\infty} f(x) = 1$.
Ora, nel nostro caso noi conosciamo tale funzione di densità che è: $f(x) = \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha - 1}e^{-\beta x}$, dove $\Gamma(\alpha)$ non è altro che la funzione Gamma con parametro $\alpha$. Ora dunque è sufficiente prestare attenzione al valore da imporre al parametro $\alpha$ nel nostro caso specifico affinché possiamo ottenere appunto una distribuzione Gamma, risparmiando così laboriosissimi e noiosissimi calcoli
.
PS: la funzione Gamma la si può lasciare indicata così com'è nella formula (parametro a parte ovviamente) senza che ci sia il bisogno di esplicitarla.
In effetti anche a me è quasi subito saltata all'occhio la distribuzione Gamma e pertanto anche la funzione Gamma che è appunto richiamata in questa. Allora, poiché la distribuzione Gamma è una distribuzione di probabilità nel continuo se indichiamo con $f(x)$ la funzione di densità di probabilità di questa deve essere che $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) = 1$ (questo comunque vale per tutte le distribuzioni continue di probabilità). Nella fattispecie la distribuzione gamma è definita soltanto nei reali positivi e pertanto nel nostro caso specifico avremo $\int_{0}^{+\infty} f(x) = 1$.
Ora, nel nostro caso noi conosciamo tale funzione di densità che è: $f(x) = \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha - 1}e^{-\beta x}$, dove $\Gamma(\alpha)$ non è altro che la funzione Gamma con parametro $\alpha$. Ora dunque è sufficiente prestare attenzione al valore da imporre al parametro $\alpha$ nel nostro caso specifico affinché possiamo ottenere appunto una distribuzione Gamma, risparmiando così laboriosissimi e noiosissimi calcoli
.PS: la funzione Gamma la si può lasciare indicata così com'è nella formula (parametro a parte ovviamente) senza che ci sia il bisogno di esplicitarla.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo