Integrale complesso di nome e di fatto

[VINX89]

Salve. L'esercizio che vi propongo è questo:

$int_0^(+infty) (x^(1/3))/(x^2 + x + 1) dx$

Devo risolverlo sfruttando l'integrazione complessa, quindi considero l'integrale $int_(gamma) (z^(1/3))/(z^2 + z + 1) dz$

$gamma$ è un segmento parallelo all'asse reale che va da $0$ a $R$, con $R$ che tende a infinito.
Per cavarmela ho pensato di considerare l'integrale di questa funzione su $Gamma$, ovvero la curva

$Gamma = gamma + hat(gamma) + gamma_r + gamma_(epsilon)$

$hat(gamma)$ è il segmento per cui $z = x - i epsilon$, con $epsilon$ tendente a zero e $x$ che va da $R$ a $0$.
$gamma$, invece, come ho detto prima, è il segmento su cui $z = x + i epsilon$, con $x$ che va da $0$ a $R$.
I due segmenti sono uniti vicino lo zero da una semicirconferenza di raggio $epsilon$ che gira alla sinistra dello zero in senso orario; Il cammino $Gamma$, infine, si chiude con la circonferenza $gamma_r$ di raggio $R$ che gira attorno allo zero in senso antiorario e chiude $gamma$ e $hat(gamma)$ alle altre estremità.
Si ha, quindi, la seguente relazione fra gli integrali della funzione sui vari cammini:

$int_(gamma) = int_(Gamma) - int_(hat(gamma)) - int_(gamma_(epsilon)) - int_(gamma_r)$

Gli integrali su $gamma_(epsilon)$ e su $gamma_r$ sono nulli per i lemmi sugli integrali calcolati su archi di circonferenza:
Se calcolo, infatti, $z f(z)$ per $epsilon$ che va a zero ponendo $z = epsilon e^(i theta)$ ottengo:

$(epsilon e^(i theta) (epsilon)^(1/3) e^(i (theta)/3))/((epsilon)^2 e^(2 theta i) + epsilon e ^(i theta) + 1) -> epsilon^(4/3) e^(i 4/3 theta) -> 0$

Analogamente, se $R->+infty$ e $z = R e^(i theta)$, $z f(z)$ va come $R^(2/3)$ e quindi tende a zero.

Lungo $hat(gamma)$, passando ancora una volta alla rappresentazione euleriana, siccome $theta$ vale circa $2 pi$ ottengo:

$z = rho e^(2 pi i) = rho -> dz = drho -> int_(+infty)^0 ((rho)^(1/3) e^(2/3 pi i))/((rho)^2 e^(4 pi i) + rho e^(2 pi i) + 1) drho$

$-> - e^(2/3 pi i) int_0^(infty) ((rho)^(1/3))/((rho)^2 + rho + 1) drho = - e^(2/3 pi i) int_(gamma) f(z) dz$

Quindi ho che $int_(gamma) = (int_(Gamma))/(1 - e^(2/3 pi i))$

L'integrale lungo $Gamma$ posso calcolarlo con i residui. I poli sono $z_1 = - 1/2 - (sqrt(3))/2 i$ e $z_2 = - 1/2 + (sqrt(3))/2 i$.

I residui sono $R_1 = (z - z_1)f(z)$ per $z->z_1$ e $R_2 = (z - z_2)f(z)$ per $z->z_2$, quindi

$int_(Gamma) = 2 pi i (R_1 + R_2)$

Vorrei chiedervi se il ragionamento ed il procedimento seguiti sono giusti, visto che ho diversi dubbi.
Primo: il risultato finale mi viene complesso, il che chiaramente non è possibile dato che l'integrale di partenza è reale.
Secondo: nei calcoli, sostituendo diversi valori in $z^(1/3)$ (per esempio nel calcolo dei residui o degli integrali lungo $gamma_r$ e $gamma_(epsilon)$),
è lecito considerare solo una radice anche se $z^(1/3)$ è polidroma?
Vi prego di aiutarmi dato che martedì ho un esame scritto. Grazie a tutti.

[Boris1]

"VINX89":

Lungo $hat(gamma)$, passando ancora una volta alla rappresentazione euleriana, siccome $theta$ vale circa $2 pi$ ottengo:

Ma questo è vero solo in un intorno di infinito, abbastanza lontano dallo zero!
Se la tua curva $hat(gamma)$ passa proprio sotto lo zero, credo che in quei punti l'argomento di $z$ è circa $-\pi/2$

[VINX89]

Però il segmento $hat(gamma)$, definito da $z = x - i epsilon$, tende ad essere sull'asse reale in quanto $epsilon$ tende a zero.

Di conseguenza $theta$ tende a zero anche quando $hat(gamma)$ è "sotto" lo zero (per la precisione, tende a non essere definito in quanto sullo zero le coordinate polari non godono di una corrispondenza biunivoca con le coordinate cartesiane), anche se non ne sono sicurissimo.
Quindi secondo te l'unico eventuale problema sarebbe in quell'angolo? Per il resto è tutto ok?

[Boris1]

"VINX89":Di conseguenza $theta$ tende a zero anche quando $hat(gamma)$ è "sotto" lo zero (per la precisione, tende a non essere definito in quanto sullo zero le coordinate polari non godono di una corrispondenza biunivoca con le coordinate cartesiane), anche se non ne sono sicurissimo.

visto che stiamo considerando un limite per $\epsilon->0$, al solito tutto ci interessa dell'intorno dello $0$, tranne quello che avviene nello $0$. Quindi $\theta$ resta sempre definito (in quanto l'unico problema è proprio nello $0$), e resta sempre uguale a $-\pi/2$.
Questo avviene esattamente sotto lo $0$.
D'altro canto, visto che stiamo integrando, di ciò che avviene in un unico punto non ci interessa, e il dubbio che mi rimane è quello di poter considerare l'argomento di tutti gli altri punti uguale a $2\pi$. Se così facessimo, dovremmo dire lo stesso anche per $\gamma$, e altro non staremmo facendo che integrare avanti e dietro due volte sull'asse reale...(la formula alla quale sei pervenuto tu discende dal semplice fatto di aver considerato l'argomento dei punti di $hat(gamma)$ uguale a $2\pi$ e quello di $\gamma$ uguale a $0$. In questo senso, la polidromia della radice ci ha dato qualche problema, avendo operato su $2\pi$ e non su $0$)

Io opererei in modo diverso:
Considererei all'inizio un cambio di variabili del tipo $x=x^3$, facendo così scomparire tutti i fastidiosi problemi relativi alla radice.
A questo punto l'integrale è diventato nella forma $int_0^(+\infty)R(x^n)dx$, e penso tu abbia trattato questo tipo di integrali: si integra sul segmento $gamma$ da $0$ a $R$ sull'asse reale, poi sull'arco di circonferenza che si apre in senso antiorario dal punto $(R,0)$ fino a $(2\pi)/n$ radianti e poi sul segmento $hat(gamma)$ che collega il punto $Re^((2\pi)/ni)$ al punto $0$, si utilizza il teorema dei residui.. ecc..ecc..

[VINX89]

In effetti la sostituzione che proponi tu semplifica enormemente il problema...
Comunque, per quanto riguarda quel $2 pi$, rivedendo i miei appunti ho trovato un esercizio svolto dal mio prof:
il cammino di integrazione scelto è esattamente lo stesso, ed anche li $theta$ viene considerato uguale a $2 pi$.
Grazie per le risposte e per l'aiuto.