Integrale complesso di esponenziali

[leleallariscossa]

Salve, sapreste risolvermi questo integrale? Non ne vengo a capo...


$e^(2x)/(((e^(2x)+2)*(e^(4x)+4)))$

Mi servirebbe tra 0 e 1, ma mi basta che mi diate il generale o quantomeno qualche passaggio.
Io sostituisco x con $e^(2x)$ ma non so più come scomporre..
Grazie

[Weierstress]

L'idea è giusta, sostituendo \(\displaystyle t=e^{2x} \), \(\displaystyle dt=2e^{2x}dx \) ti riconduci all'integrale razionale \[\displaystyle \int \frac{dt}{2(t+2)(t^2+4)} \] che si fa per fratti semplici.

[leleallariscossa]

"Weierstress":L'idea è giusta, sostituendo \(\displaystyle t=e^{2x} \), \(\displaystyle dt=2e^{2x}dx \) ti riconduci all'integrale razionale \[\displaystyle \int \frac{dt}{2(t+2)(t^2+4)} \] che si fa per fratti semplici.

Il problema è che non ci arrivo.. mi fermo a

$int(t/((t+2)(t^2+4)) dt )$

[pilloeffe]

Ciao leleallariscossa,

Proseguiamo dal punto suggerito da Weierstress:

$ int frac{1}{2(t + 2)(t^2 + 4)} dt = 1/2 int frac{dt}{(t + 2)(t^2 + 4)} $

Scomponendo in fratti semplici:

$ frac{1}{(t + 2)(t^2 + 4)} = frac{A}{t + 2} + frac{Bt + C}{t^2 + 4} = frac{At^2 + 4A + Bt^2 + Ct + 2Bt + 2C}{(t + 2)(t^2 + 4)} = $
$ = frac{(A + B)t^2 + (2B + C)t + 4A + 2C}{(t + 2)(t^2 + 4)} $

Per il principio di identità dei polinomi affinché il polinomio a numeratore di destra sia uguale a quello di sinistra deve essere:

$\{(A + B = 0),(2B + C = 0),(4A + 2C = 1):} \implies \{(B = - A),(- 2A + C = 0),(4A + 2C = 1):} \implies \{(B = - A),(C = 2A),(4A + 4A = 1):} \implies \{(B = - 1/8),(C = 1/4),(A = 1/8):} $

Quindi si ha:

$ int frac{1}{2(t + 2)(t^2 + 4)} dt = 1/2 int frac{dt}{(t + 2)(t^2 + 4)} = 1/16 int frac{1}{t + 2} dt - 1/32 int frac{2t - 4}{t^2 + 4} dt = $
$ = 1/16 ln|t + 2| - 1/32 int frac{2t}{t^2 + 4} dt + 1/8 int frac{1}{t^2 + 2^2} dt = $
$ = 1/16 ln|t + 2| - 1/32 ln(t^2 + 4) + 1/16 arctan(t/2) + c $

In definitiva, ricordando che si era posto $t := e^{2x} $, si ha:

$ int e^(2x)/((e^(2x)+2)(e^(4x)+4)) dx = 1/32 [2 ln(e^{2x} + 2) - ln(e^{4x} + 4) + 2 arctan(frac{e^{2x}}{2})] + c $

A questo punto è agevole calcolare l'integrale definito che ti serve, infatti si ha:

$ int_0^1 e^(2x)/((e^(2x)+2)(e^(4x)+4)) dx = 1/32 [2 ln(e^{2x} + 2) - ln(e^{4x} + 4) + 2 arctan(frac{e^{2x}}{2})]_0^1 = $
$ = 1/32 [2 ln(e^{2} + 2) - ln(e^{4} + 4) + 2 arctan(frac{e^{2}}{2}) - 2 ln 3 + ln 5 - 2 arctan(1/2)] = $
$ = 1/32 [ln frac{5(e^{2} + 2)^2}{9(e^{4} + 4)} + 2 arctan(frac{e^{2}}{2}) - 2 arctan(1/2)] $

[leleallariscossa]

"pilloeffe":Ciao leleallariscossa,

Proseguiamo dal punto suggerito da Weierstress:

$ int frac{1}{2(t + 2)(t^2 + 4)} dt = 1/2 int frac{dt}{(t + 2)(t^2 + 4)} $

Scomponendo in fratti semplici:

$ frac{1}{(t + 2)(t^2 + 4)} = frac{A}{t + 2} + frac{Bt + C}{t^2 + 4} = frac{At^2 + 4A + Bt^2 + Ct + 2Bt + 2C}{(t + 2)(t^2 + 4)} = $
$ = frac{(A + B)t^2 + (2B + C)t + 4A + 2C}{(t + 2)(t^2 + 4)} $

Per il principio di identità dei polinomi affinché il polinomio a numeratore di destra sia uguale a quello di sinistra deve essere:

$\{(A + B = 0),(2B + C = 0),(4A + 2C = 1):} \implies \{(B = - A),(- 2A + C = 0),(4A + 2C = 1):} \implies \{(B = - A),(C = 2A),(4A + 4A = 1):} \implies \{(B = - 1/8),(C = 1/4),(A = 1/8):} $

Quindi si ha:

$ int frac{1}{2(t + 2)(t^2 + 4)} dt = 1/2 int frac{dt}{(t + 2)(t^2 + 4)} = 1/16 int frac{1}{t + 2} dt - 1/32 int frac{2t - 4}{t^2 + 4} dt = $
$ = 1/16 ln|t + 2| - 1/32 int frac{2t}{t^2 + 4} dt + 1/8 int frac{1}{t^2 + 2^2} dt = $
$ = 1/16 ln|t + 2| - 1/32 ln(t^2 + 4) + 1/16 arctan(t/2) + c $

In definitiva, ricordando che si era posto $t := e^{2x} $, si ha:

$ int e^(2x)/((e^(2x)+2)(e^(4x)+4)) dx = 1/32 [2 ln(e^{2x} + 2) - ln(e^{4x} + 4) + 2 arctan(frac{e^{2x}}{2})] + c $

A questo punto è agevole calcolare l'integrale definito che ti serve, infatti si ha:

$ int_0^1 e^(2x)/((e^(2x)+2)(e^(4x)+4)) dx = 1/32 [2 ln(e^{2x} + 2) - ln(e^{4x} + 4) + 2 arctan(frac{e^{2x}}{2})]_0^1 = $
$ = 1/32 [2 ln(e^{2} + 2) - ln(e^{4} + 4) + 2 arctan(frac{e^{2}}{2}) - 2 ln 3 + ln 5 - 2 arctan(1/2)] = $
$ = 1/32 [ln frac{5(e^{2} + 2)^2}{9(e^{4} + 4)} + 2 arctan(frac{e^{2}}{2}) - 2 arctan(1/2)] $

Ciao, ti ringrazio, il punto è che riesco a svolgerlo regolarmente dal passaggio dato da Weierstress...
Dal mio passaggio però non riesco ad arrivare a


$ int frac{1}{2(t + 2)(t^2 + 4)} dt = $

[pilloeffe]

Non ci ho neanche pensato perché era la cosa più semplice...
Comunque l'integrale proposto è il seguente:

$ int e^(2x)/((e^(2x)+2)(e^(4x)+4)) dx $

Con la posizione $t := e^{2x} $ che ti ha già suggerito Weierstress, si ha:

$dt = 2 e^{2x} dx \implies dx = frac{dt}{2 e^{2x}} = frac{dt}{2t} $

Per cui si ha:

$ int e^(2x)/((e^(2x)+2)(e^(4x)+4)) dx = int t/((t+2)(t^2+4)) \cdot frac{dt}{2t} = int 1/(2(t+2)(t^2+4)) dt $

[leleallariscossa]

"pilloeffe":Non ci ho neanche pensato perché era la cosa più semplice...
Comunque l'integrale proposto è il seguente:

$ int e^(2x)/((e^(2x)+2)(e^(4x)+4)) dx $

Con la posizione $t := e^{2x} $ che ti ha già suggerito Weierstress, si ha:

$dt = 2 e^{2x} dx \implies dx = frac{dt}{2 e^{2x}} = frac{dt}{2t} $

Per cui si ha:

$ int e^(2x)/((e^(2x)+2)(e^(4x)+4)) dx = int t/((t+2)(t^2+4)) \cdot frac{dt}{2t} = int 1/(2(t+2)(t^2+4)) dt $

Illuminato!! Grazie!