Integrale complesso con radice

[Oiram92]

Ciao a tutti, sto tentando di risolvere un esercizio che sembrava semplice e si sta rivelando più difficile di quanto pensassi..l'esercizio in questione è il seguente :

\(\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sqrt{x}}{x^2+1} dx \)

L'integranda \(\displaystyle f(x) \) è sommabile perchè all'infinito è un infinitesimo di ordine \(\displaystyle >1 \). Adesso se consideriamo l'estensione al campo complesso :

\(\displaystyle f(z) = \frac{|z|^{\frac{1}{2}}\; e^{i \frac{arg(z)}{2}}}{z^2+1} \)

i punti di discontinuità sono \(\displaystyle \pm \;i \) ed in particolare sono poli per \(\displaystyle f(z) \). Considerando come insieme di integrazione la semicirconferenza :

\(\displaystyle T = \left\{ z \in \mathbb{C} : I_m(z) \geq 0 \;,\; \epsilon \leq |z| \leq R \;,\; R>1 \right\} \)

Allora abbiamo che :

\(\displaystyle \int_{+ \partial T} f(z) dz = \int_{-R}^{-\epsilon} \frac{\sqrt{x} \cdot e^{i \frac{\pi}{2}}}{x^2+1} dx + \int_{\epsilon}^{R} \frac{\sqrt{x}}{x^2+1} dx + \int_{+\Gamma_R} f(z) dz = 2 \pi \; i \; Res(f(z),i) \)

Per il lemma del cerchio grande si vede che l'integrale su \(\displaystyle \Gamma_R \) tende a \(\displaystyle 0 \), inoltre scrivendo :

\(\displaystyle \int_{-\infty}^{0} f(x) dx = - \int_{0}^{+\infty} f(x) dx \)

si ha :

\(\displaystyle (1-i) \cdot \int_{0}^{+\infty} \frac{\sqrt{x}}{x^2+1} dx = 2 \pi \; i \; Res(f(z),i) \)

Calcolando il residuo si vede che :

\(\displaystyle Res(f(z),i) = \lim_{z \to i} \frac{\sqrt{z}\cdot e^{i \frac{arg(z)}{2}}}{z+i} = \frac{1}{2} \)

Quindi dovrebbe risultare :

\(\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sqrt{x}}{x^2+1} dx = - \frac{\pi}{2} + i \; \frac{\pi}{2} \)

ma in realtà l'integrale converge a \(\displaystyle \frac{\pi}{\sqrt{2}} \). Dove sbaglio?

[Bremen000]

Se ho ben capito consideri un circuito di integrazione che è una semicirconferenza nel semipiano superiore che "salta" attorno all'origine giusto?
Se si è sbagliato, devi considerare una circonferenza che non si chiuda attorno all'origine di questo tipo:

[img]https://www.matematicamente.it/forum/download/file.php?mode=view&id=1773&sid=6d1b7141489825f857d8499fbde8b4e1[/img]

[Oiram92]

scusami potresti postare il link dell'immagine (o fare uno schizzo approssimativo con fidocadj) ? non riesco a visualizzare nessuna immagine. Grazie

[Bremen000]

Perdonami, spero si riesca a vedere adesso...

[Oiram92]

Scusami ma vorrei approfittare ancora una volta della tua cortesia perchè ancora non mi è chiaro..Ripartiamo:

Consideriamo :

\(\displaystyle f(z) = \frac{\sqrt{z}}{z^2+1} = \frac{ \sqrt{|z|} \; e^{i \frac{arg(z)}{2}}}{z^2+1} \)

definita in \(\displaystyle \mathbb{C} - \left\{ \pm i \right\} \). Considerando come insieme di integrazione :

[fcd="Insieme di integrazione"][FIDOCAD]
LI 110 35 110 170 0
FCJ 1 0 3 2 0 0
LI 40 105 175 105 0
FCJ 2 0 3 2 0 0
LI 110 100 110 110 0
TY 105 30 4 3 0 0 0 * Im
TY 175 105 4 3 0 0 0 * Re
TY 135 50 4 3 0 0 1 * ΓR
BE 55 105 50 170 165 175 160 110 1
FCJ 2 0 3 2 0 0
TY 100 90 4 3 0 0 1 * Γε
BE 100 105 100 115 115 115 115 110 1
FCJ 1 0 3 2 0 0
LI 115 110 160 110 1
FCJ 1 0 3 2 0 0
BE 100 105 100 95 115 95 115 100 1
FCJ 2 0 3 2 0 0
LI 160 100 115 100 1
FCJ 1 0 3 2 0 0
BE 55 105 50 35 160 35 160 100 1
FCJ 1 0 3 2 0 0
SA 110 75 2
SA 110 145 2
TY 115 70 4 3 0 0 2 * i
TY 110 140 4 3 0 0 2 * -i[/fcd]

Allora si ha che :

\(\displaystyle \int_{\partial T} f(z) dz = - \int_{+\Gamma_{\epsilon}} f(z) dz + \int_{\epsilon}^{R} \frac{ \sqrt{x}}{x^2+1} dx + \int_{\Gamma_R} f(z) dz + \int_{\epsilon}^{R} \frac{ \sqrt{x}}{x^2+1} dx - \int_{+\Gamma_{\epsilon}} f(z) dz \)

Per i lemmi del piccolo e grande cerchio, essendo :

\(\displaystyle \lim_{z \to 0} z \; f(z) = 0 \;\;\;\; \rightarrow \;\;\;\; \lim_{\epsilon \to 0} \int_{+\Gamma_{\epsilon}} f(z) dz = 0 \)

\(\displaystyle \lim_{z \to \infty} z \; f(z) = 0 \;\;\;\; \rightarrow \;\;\;\; \lim_{R \to \infty} \int_{+\Gamma_R} f(z) dz = 0 \)

Quindi, per \(\displaystyle R \to \infty \) e \(\displaystyle \epsilon \to 0 \) si ha :

\(\displaystyle \int_{+\partial T} f(z) dz = 2 \cdot \int_{0}^{+\infty} \frac{ \sqrt{x}}{x^2+1} dx = 2 \pi \; i \left( Res(f(z),i) + Res(f(z),-i) \right) \)

Calcolando i residui si ha :

\(\displaystyle Res(f(z),i) = \lim_{z \to i} \frac{\sqrt{|z|} \; e^{i \frac{arg(z)}{2}}}{z+i} = \frac{\sqrt{i} \; e^{i \frac{\pi}{4}}}{2i} = \left(\frac{1+i}{\sqrt{2}}\right)^2 \left(\frac{1}{2i}\right) = \frac{1}{2} \)

\(\displaystyle Res(f(z),-i) = \lim_{z \to -i} \frac{\sqrt{|z|} \; e^{i \frac{arg(z)}{2}}}{z-i} = \frac{\sqrt{i} \; e^{i \frac{3\pi}{4}}}{-2i} = - \left(\frac{1+i}{\sqrt{2}}\right)\left( \frac{-1+i}{\sqrt{2}}\right)\; \frac{1}{2i} = \frac{1}{2i} \)

Quindi :

\(\displaystyle 2 \pi \; i \; \sum_k Res(f(z),z_k) = 2 \pi \; i \left(\frac{1+i}{2i}\right) = \pi (1+i) \)

E come risultato finale ottengo (dividendo per \(\displaystyle 2 \)) :

\(\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{ \sqrt{x}}{x^2+1} dx = \frac{\pi}{2} (1+i) \)

e ancora una volta non ottengo il risultato desiderato..dove sbaglio? ci sto lasciando la salute su questo esercizio...

[Bremen000]

Attento ai versi dei cammini e alla scelta della determinazione (non so se hai fatto giusto per caso o meno quindi metto i conti):

Posto $z= \rho e^{i\theta}$ si ha, per il teorema dei residui:

$\int_{\partial \Gamma} f(z)dz = \int_{\Gamma_{\epsilon}} f(z)dz + \int_{\Gamma_{R}} f(z)dz+ \int_{\epsilon}^{R} \frac{\sqrt{\rho} e^{i 0/2}}{\rho^2 e^{2i 0}+1}d\rho + \int_{R}^{\epsilon} \frac{\sqrt{\rho} e^{i2\pi/2}}{\rho^2 e^{2i 2\pi}+1}d\rho = 2\pi iRes(f(z),i) + 2 \pi iRes(f(z),-i) = 2 \pi i \frac{1}{2i} (\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}) + 2 \pi i \frac{-1}{2i} (-\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2}\pi $

Passando al limite per $\epsilon \to 0 , R \to +\infty$ si ottiene:

$2\int_0^{+\infty} \frac{\sqrt{x}}{x^2+1} dx = \sqrt{2}\pi \Rightarrow \int_0^{+\infty} \frac{\sqrt{x}}{x^2+1} dx = \frac{\pi}{\sqrt{2}}$

C'è qualcosa che non va nel calcolo dei residui:

$Res(f(z),i)=\lim_{z \to i} \frac{\rho e^{i\theta/2}}{z+i} = \frac{1 e^{i\pi/4}}{2i}= \frac{1}{2i} (\cos(\pi/4)+i\sin(\pi/4)) = \frac{1}{2i} (\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2})$

$Res(f(z),-i)=\lim_{z \to -i} \frac{\rho e^{i\theta/2}}{z-i} = \frac{1 e^{3i\pi/4}}{2i}= \frac{1}{-2i} (\cos(3\pi/4)+i\sin(3\pi/4)) = \frac{-1}{2i} (-\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2})$

Quando calcoli residui di poli del primo ordine ti consiglio la formula:

$f(z) = \frac{n(z)}{d(z)} \Rightarrow Res(f(z),z_0) = \frac{n(z_0)}{d'(z_0)} $

Ciao!

[Oiram92]

Innanzitutto grazie mille, adesso è un pò più chiaro ma mi restano solo altri due dubbi riguardo al tuo svolgimento.

1)

"Bremen000":Attento ai versi dei cammini

Posto $z= \rho e^{i\theta}$ si ha, per il teorema dei residui:

$\int_{\partial \Gamma} f(z)dz = \int_{\Gamma_{\epsilon}} f(z)dz + \int_{\Gamma_{R}} f(z)dz+ \int_{\epsilon}^{R} \frac{\sqrt{\rho} e^{i 0/2}}{\rho^2 e^{2i 0}+1}d\rho + \int_{R}^{\epsilon} \frac{\sqrt{\rho} e^{i2\pi/2}}{\rho^2 e^{2i 2\pi}+1}d\rho $

Qui tutto chiaro, però non dovremmo prendere :

\(\displaystyle - \int_{\Gamma_{\epsilon}} f(z)dz \)

sul libro c'è scritto che dobbiamo considerare con il segno positivo il senso antiorario e con il segno negativo quello orario. Dal grafico si vede che \(\displaystyle \Gamma_{\epsilon} \) ruota in senso orario, o sbaglio? In questo caso non importa più di tanto perchè per il lemma del cerchio piccolo si vede che esso non contribuisce all'integrale.

2) il secondo dubbio è ancora legato ai residui, infatti tu qui dici :

"Bremen000":
C'è qualcosa che non va nel calcolo dei residui:

$Res(f(z),i)=\lim_{z \to i} \frac{\rho e^{i\theta/2}}{z+i} = \frac{1 e^{i\pi/4}}{2i}= \frac{1}{2i} (\cos(\pi/4)+i\sin(\pi/4)) = \frac{1}{2i} (\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2})$

$Res(f(z),-i)=\lim_{z \to -i} \frac{\rho e^{i\theta/2}}{z-i} = \frac{1 e^{3i\pi/4}}{2i}= \frac{1}{-2i} (\cos(3\pi/4)+i\sin(3\pi/4)) = \frac{-1}{2i} (-\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2})$

ma la funzione \(\displaystyle f(z) \) non è :

\(\displaystyle f(z) = \frac{\sqrt{z}\; e^{i \frac{arg(z)}{2}}}{z^2+1} \)

quindi :

\(\displaystyle Res(f(z),i) = \lim_{z \to i} \frac{\sqrt{z}\; e^{i \frac{arg(z)}{2}}}{z+i} = \frac{\sqrt{i}\; e^{i \frac{\pi}{2}\;\frac{1}{2}}}{2i} = \sqrt{i} \cdot \left(cos\left(\frac{\pi}{4}\right)+i\;sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)\cdot\frac{1}{2i} \)

\(\displaystyle = \sqrt{i} \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + i \; \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \frac{1}{2i} \)

Inoltre, siccome :

\(\displaystyle \sqrt{i} = \frac{1+i}{\sqrt{2}} \)

\(\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} + i \; \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} (1 + i ) \)

Allora :

\(\displaystyle = \frac{1+i}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} (1 + i) \cdot \frac{1}{2i} = \frac{(1+i)^2}{4i} = \frac{2i}{4i} = \frac{1}{2} \)

in sostanza, come mai hai considerato (nel calcolo del residuo) \(\displaystyle z \) e non \(\displaystyle \sqrt{z} \)?

[EDIT] Cavolo me ne sono accorto adesso..sotto radice abbiamo il modulo di \(\displaystyle z \)! Quindi ecco il perchè! Va bene la questione è risolta mi resta da chiarire solo il piccolo dubbio riguardo al segno e mi hai tolto ogni dubbio. Grazie mille

[Bremen000]

"Oiram92":
Qui tutto chiaro, però non dovremmo prendere :

\(\displaystyle - \int_{\Gamma_{\epsilon}} f(z)dz \)

Hai completamente ragione, siccome non influiva non mi sono preoccupato del segno ma è come dici tu.

"Oiram92":
ma la funzione \(\displaystyle f(z) \) non è :

\(\displaystyle f(z) = \frac{\sqrt{z}\; e^{i \frac{arg(z)}{2}}}{z^2+1} \)

Hai ragione pure qua, nella fretta si scrivono scemenze:

$f(\rho, \theta) = \frac{\sqrt{\rho}e^{i \theta/2}}{\rho^2e^{i2 \theta}+1} $

"Oiram92":

\(\displaystyle Res(f(z),i) = \lim_{z \to i} \frac{\sqrt{z}\; e^{i \frac{arg(z)}{2}}}{z+i} = \frac{\sqrt{i}\; e^{i \frac{\pi}{2}\;\frac{1}{2}}}{2i} = \sqrt{i} \cdot \left(cos\left(\frac{\pi}{4}\right)+i\;sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)\cdot\frac{1}{2i} \)

\(\displaystyle = \sqrt{i} \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + i \; \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \frac{1}{2i} \)

Eccolo qua l'errore! $\rho$ non è $i$ ma 1!
Infatti il modulo di un numero complesso è un numero reale positivo, nel nostro caso 1 la cui radice quadrata (nel senso aritmetico) è ancora 1;
detto ciò, con questa correzione, i calcoli che ho riportato sono corretti e dovrebbe tornarti.

[Oiram92]

perfetto grazie mille, hai risolto ogni mio dubbio il secondo errore l'ho capito un pò in ritardo (come vedi dal post precedente) ma alla fine ci sono arrivato! Ancora grazie!