Integrale complesso con coseno

[Oiram92]

Calcolare il seguente integrale:

\(\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x \cdot cos(2x)}{x^4+16} dx \)

Ho svolto quello del testo originale in cui avevo \(\displaystyle sen(2x) \) (e risulta), adesso ho voluto provare a risolverlo con il coseno ma giungo ad un risultato diverso da quello calcolato su Mathematica (ovvero dovrebbe fare zero).

Posto anche il mio svolgimento. Innanzitutto osservo che \(\displaystyle cos(2x) = Re{[e^{i2x}]} \) quindi scelgo :

\(\displaystyle f(z) = \frac{z \cdot e^{i2z}}{z^4+16} \) in \(\displaystyle \mathbb{C} - \{ \pm 2 \sqrt{i} ; \pm 2 i \sqrt{i} \} \)

e considero l'insieme :

\(\displaystyle T = \{ z \in \mathbb{C} : Im{(z)}>0 ; \epsilon \le |z| \le R; R > 1 \} \)

Quindi :

\(\displaystyle \int_{\partial T} f(z) dz = \int_{-R}^{-\epsilon} \frac{x \cdot e^{i 2 x}}{x^4+16} dx - \int_{+\Gamma_{\epsilon}} f(z) dz + \int_{\epsilon}^{R} \frac{x \cdot e^{i 2 x}}{x^4+16} dx + \int_{+\Gamma_{R}} f(z) dz\)

Per i lemmi del grande e piccolo cerchio si ha che :

\(\displaystyle \lim_{z\to +\infty} z f(z) = \lim_{z \to 0} z f(z) = 0 \)

Quindi la precedente si riduce a :

\(\displaystyle \int_{\partial T} f(z) dz = \int_{-R}^{-\epsilon} \frac{x \cdot e^{i 2 x}}{x^4+16} dx + \int_{\epsilon}^{R} \frac{x \cdot e^{i 2 x}}{x^4+16} dx = 2 \pi i \left[Res(f,2 \sqrt{i}) + Res(f, 2 i \sqrt{i}) \right] \)

Di cui dovremo considerare solo la parte reale per come abbiamo sostituito \(\displaystyle cos(2x) \). Calcolando i residui :

\(\displaystyle Res(f,2 \sqrt{i}) = - \frac{i}{16} \cdot e^{4 i \sqrt{i}} \)

\(\displaystyle Res(f, 2 i \sqrt{i}) = \frac{i}{16} \cdot e^{-4 \sqrt{i}} \)

Adesso, siccome :

\(\displaystyle e^{4 i \sqrt{i}} = cos(4 \sqrt{i}) + i sen(4 \sqrt{i}) \)

\(\displaystyle e^{-4 \sqrt{i}} = e^{i \cdot(4 i \sqrt{i})} = cos(4 i \sqrt{i}) + i sen(4 i \sqrt{i}) \)

Svolgendo i conti (e prelevando solo la parte reale) si ha che :

\(\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x \cdot cos(2x)}{x^4+16} dx = \frac{\pi}{8} \left[ cos(4 \sqrt{i}) - cos(4 i \sqrt{i}) \right] \)

però Mathematica mi da come risultato zero..in cosa ho sbagliato?

[Oiram92]

mmm...analizzando \(\displaystyle cos(4 \sqrt{i}) - cos(4 i \sqrt{i}) \) salta fuori che la parte reale di questa quantità si annulla. Siccome dobbiamo considerare solo la parte reale allora l'integrale vale zero. A questo punto non credo di aver sbagliato nella risoluzione dell'esercizio però mi salta fuori un altro dubbio..all'esame in cui non ci è permesso di usare nemmeno la calcolatrice come faccio a capire che la parte reale di \(\displaystyle cos(4 \sqrt{i}) \) è uguale a quella di \(\displaystyle cos(4 i \sqrt{i}) \) ?