Integrale complesso

[poncelet]

Vorrei porre un quesito probabilmente banale ma sono all'inizio...
Allora ho questo integrale:

$int_(nC(0;1))dz/z$ dove $n \in ZZ^"*"$ e $C(0;1)$ è la circonferenza di raggio $1$ e centrata nell'origine.

Il mio piccolo dubbio riguarda il cammino di integrazione, ovvero, posso parametrizzarlo così:

$nC(0;1):$ $ [0, 2npi]->CC$
$nC(0;1):$ $ t->e^(it)$

Quindi l'integrale diventa:

$-int_(0)^(2npi)1/e^(it)*i/e^(it)dt=-i*int_(0)^(2npi)e^(-2it)=1/2[e^(-2it)]_(0)^(2npi)=0$

E' giusto il procedimento?

[drughe]

mi sa che hai sbagliato a fare la sostituzione, se $z=e^{it}$ allora $dz=ie^{it}dt$ e quindi quell integrale fa $n2\pi i$

per altro potrebbe esserti utile la definizione di indice di avvolgimento di una curva rispetto ad un punto.

edit: nel caso dell'integrale che hai proposto è anche importante l orientazione della circonferenza, di solito se non è specificato niente si tratta di orientazione antioraria e in tal caso il risultato è quello che ti ho detto prima; se invece la circonferenza è orientata in senso orario il risultato è l'opposto.

[poncelet]

Giusto, avevo sbagliato a calcolare $dz$. Per quanto riguarda l'orientazione confermo che il verso è antiorario.
Grazie mille!

Ne avrei anche un altro:

$int_(nC(0;1))z^kdz$ con $n \in ZZ^"*"$ e $k \in ZZ$

Lo avrei svolto così:

$int_(nC(0;1))z^kdz=int_(0)^(2npi)e^(kit)*i*e^(it)dt=iint_(0)^(2npi)e^((k+1)it)dt=1/(k+1)[e^((k+1)it)]_(0)^(2npi)=0$

E' giusto?

[drughe]

si
un altro approccio (però non ne sono sicurissimo) per non fare troppi calcoli potrebbe essere notare che $z^k$ è olomorfa (in realtà intera) e per il teorema della media per funzioni olomorfe quell'integrale è uguale a $2\pi \cdot z^k_0$ con $z_0$ il centro della circonferenza su cui integri, e quindi nel nostro caso con $z_0=0$ vediamo subito che fa 0.

[pater46]

Non vorrei dire una cavolata.. Ma quello proposto non sarebbe l'integrale curvilineo di una funzione olomorfa in $CC \\ { 0 }$ attorno proprio a quella discontinuità?

Per il teorema dei residui non dovrebbe allora essere $ int_\gamma (dz)/z = Res( 1/z, 0_{CC} ) = lim_{z->0} z \cdot 1/z = 1$ ?

Tuttavia non ho chiaro il $n in ZZ$, credo che sia qui che mi sbaglio.. che cammino sarebbe $nC(0;1)$?

[drughe]

per il teorema dei residui avremmo che quell integrale è uguale a $ 2\pi i Ind_\gamma (0) \cdot Res(frac{1}{z},0)$, dove $Ind_\gamma (0)$ è l'indice di avvolgimento di gamma attorno a zero.

per quanto riguarda il cammino a quanto ho capito io sarebbe la circonferenza percorsa n volte.

[pater46]

Scusa, mi ero mangiato un pezzo. Ho visto ora la parte di teoria relativa all'indice di avvolgimento sul libro di AM3... E dall'appunto $nC(0:1) = [0, 2n\pi] -> CC$ credo che corrisponda.

[poncelet]

L'esercizio sta nelle dispense del prof nel capitolo sull'integrazione complessa ma prima di introdurre il teorema dei residui. Quindi penso che sia da risolvere senza utilizzare quel teorema. Comunque mi sembra di aver capito che il risultato sia giusto. L'unica cosa che non mi è molto chiara è come devo considerare il fatto che $n$ è diverso da zero

[pater46]

In pratica quella curva non è semplice, ed individua la stessa circonferenza percorsa n volte. Ovvero, è come se integrassi la stessa funzione sullo stesso percorso n volte, in pratica è n-volte l'integrale lungo quella curva.