Integrale complesso
Ciao a tutti!
Sono alle prese con la risoluzione di questo integrale:
$2 \int_{0}^{\pi/2} \alpha_{\theta}cos(\theta)sin(\theta) d \theta$, dove $\alpha_{\theta}=1 - |\frac{\frac{z}{c}cos(\theta)-1}{\frac{z}{c}cos(\theta)+1}|^2$ con $z$ appartenente ai numeri complessi.
Mi blocco già all'inizio.
Mi verrebbe da pensare che sia opportuno utilizzare l'integrale noto $\int sin(\theta)cos(\theta) d \theta$, ma non so come trattare $\alpha_{theta}$. Suggerimenti su come procedere?
Ho provato a considerarlo come integrale di un prodotto di funzioni, ma mi blocco nel momento in cui devo considerare $\alpha_{theta}$ in cui compare $z$ complesso.
Avete dei suggerimenti per iniziare a procedere? Grazie!
Sono alle prese con la risoluzione di questo integrale:
$2 \int_{0}^{\pi/2} \alpha_{\theta}cos(\theta)sin(\theta) d \theta$, dove $\alpha_{\theta}=1 - |\frac{\frac{z}{c}cos(\theta)-1}{\frac{z}{c}cos(\theta)+1}|^2$ con $z$ appartenente ai numeri complessi.
Mi blocco già all'inizio.
Mi verrebbe da pensare che sia opportuno utilizzare l'integrale noto $\int sin(\theta)cos(\theta) d \theta$, ma non so come trattare $\alpha_{theta}$. Suggerimenti su come procedere?
Ho provato a considerarlo come integrale di un prodotto di funzioni, ma mi blocco nel momento in cui devo considerare $\alpha_{theta}$ in cui compare $z$ complesso.
Avete dei suggerimenti per iniziare a procedere? Grazie!
Risposte
Ma il numero complesso $z$ ha una qualche relazione con l'angolo $\theta$ o no?
Nessuna relazione con $\theta$!
Sostanzialmente è come se fosse una costante. Ma il fatto che sia nei complessi spiega il fatto che si considera la norma.
Sostanzialmente è come se fosse una costante. Ma il fatto che sia nei complessi spiega il fatto che si considera la norma.
formula $z$ come $a +ib$ ed
ottieni una funzione reale di $\theta$ nei parametri $a$ e $b$
ottieni una funzione reale di $\theta$ nei parametri $a$ e $b$
Bé, io allora calcolerei semplicemente quella norma e la scriverei in termini di $\theta$. Ricorda che se $u,\ v$ sono due numeri complessi allora
[tex]$|u+v|^2=|u|^2+|v|^2+2\ Re(u\bar{v})$[/tex]
[tex]$|u+v|^2=|u|^2+|v|^2+2\ Re(u\bar{v})$[/tex]
Ho provato a fare un pochino di conti:
$z=x+iy$, sostituendo anche $a=x/c, b=y/c$ e calcolando la norma ottengo:
$\alpha_{\theta}= 1- \frac{(acos(\theta)-1)^2+(bcos(\theta))^2}{(acos(\theta)+1)^2+(bcos(\theta))^2}=\frac{4acos(\theta)}{(acos(\theta)+1)^2+(bcos(\theta))^2}$
Ora potrei sostituire nell'integrale, ma viene fuori questo:
$2\int_{0}^{\pi/2}\frac{4asin(\theta)cos^2(\theta)}{(acos(\theta)+1)^2+(bcos(\theta))^2}d\theta$ suggerimenti su come risolvere questo?
$z=x+iy$, sostituendo anche $a=x/c, b=y/c$ e calcolando la norma ottengo:
$\alpha_{\theta}= 1- \frac{(acos(\theta)-1)^2+(bcos(\theta))^2}{(acos(\theta)+1)^2+(bcos(\theta))^2}=\frac{4acos(\theta)}{(acos(\theta)+1)^2+(bcos(\theta))^2}$
Ora potrei sostituire nell'integrale, ma viene fuori questo:
$2\int_{0}^{\pi/2}\frac{4asin(\theta)cos^2(\theta)}{(acos(\theta)+1)^2+(bcos(\theta))^2}d\theta$ suggerimenti su come risolvere questo?
Se $w=cos\theta$, allora $sin\theta"d"\theta =-"d"w$
Così consideri un funzione razionale di $w$, integrata tra $0$ ed $1$.
Così consideri un funzione razionale di $w$, integrata tra $0$ ed $1$.
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