Integrale Complesso

[enricokr]

Salve a tutti! Vorrei un suggerimento, un aiuto, per la risoluzione di questo integrale complesso:

$\int_(-oo)^(+oo)(e^(-Pi x^2)e^(-2 Pi i x y))dx$

[enricokr]

nessun suggerimento?

[Kroldar]

Nulla è stato specificato nel testo, ma suppongo che sia $y in RR$.



Si può dimostrare che l'integrale

$int_(-oo)^(+oo) e^(-(x+w)^2) dx$

è costante al variare di $w in CC$ e il suo valore è $sqrt(pi)$.

Sulla base di ciò, con un semplice cambio di variabile, si dimostra che l'integrale

$int_(-oo)^(+oo) e^(-(sqrt(pi)x+w)^2) dx$

vale $1$.



Consideriamo ora il seguente integrale

$int_(-oo)^(+oo) e^(-(sqrt(pi)x+jsqrt(pi)y)^2) dx$

Chiaramente, tale integrale vale $1$.

Tale integrale può essere anche scritto come

$int_(-oo)^(+oo) e^(-(sqrt(pi)x+jsqrt(pi)y)^2) dx = int_(-oo)^(+oo) e^(-(pix^2+2jpixy-piy^2)) dx = int_(-oo)^(+oo) e^(-pix^2) e^(-j2pixy) e^(piy^2) dx = 1$

In particolare

$int_(-oo)^(+oo) e^(-pix^2) e^(-j2pixy) e^(piy^2) dx = 1 => int_(-oo)^(+oo) e^(-pix^2) e^(-j2pixy) dx = e^(-piy^2)$

[enricokr]

Grazie mille!