Integrale complesso
Ciao ragazzi !
Sto facendo un esercizio e mi si chiede di calcolare il seguente integrale:
$ int_0^oo cos(ax)/(x^2+alpha^2)dx $ con $alphain R$
Il libro parte con la soluzione dicendo:
La funzione $ f(z) = e^(ialphaz)/(z^2+alpha^2) $ ha due poli semplici in $ z=+-i|alpha|$ e soddisfa il lemma di Jordan.
E poi svolge l'intgrale per $alpha> 0$ dicendo che:
$ int_-R^0 e^(ialphax)/(x^2+alpha^2) + int_0^R e^(ialphax)/(x^2+alpha^2) = 2piiRes f(z)|_(z=ialpha $
Ecco io non capisco due cose:
1) perchè a un certo punto il coseno "scompare" e introduce $ e^(ialphaz) $ ? Da dove viene fuori?
2) Perchè ci sono solo due integrali ( uno da -R a 0 , e l'altro da 0 a R) ? Non dovrebbero essercene tre (ovvero uno che chiuda il cammino) ?
Sto facendo un esercizio e mi si chiede di calcolare il seguente integrale:
$ int_0^oo cos(ax)/(x^2+alpha^2)dx $ con $alphain R$
Il libro parte con la soluzione dicendo:
La funzione $ f(z) = e^(ialphaz)/(z^2+alpha^2) $ ha due poli semplici in $ z=+-i|alpha|$ e soddisfa il lemma di Jordan.
E poi svolge l'intgrale per $alpha> 0$ dicendo che:
$ int_-R^0 e^(ialphax)/(x^2+alpha^2) + int_0^R e^(ialphax)/(x^2+alpha^2) = 2piiRes f(z)|_(z=ialpha $
Ecco io non capisco due cose:
1) perchè a un certo punto il coseno "scompare" e introduce $ e^(ialphaz) $ ? Da dove viene fuori?
2) Perchè ci sono solo due integrali ( uno da -R a 0 , e l'altro da 0 a R) ? Non dovrebbero essercene tre (ovvero uno che chiuda il cammino) ?
Risposte
Sono molto arrugginito su analisi complessa, ma credo che l'esponenziale arrivi dalla formula di Eulero per il coseno, mentre la parte che chiude il circuito se ne va perché sparisce quando fai il limite, per il lemma di Jordan.
grazie mille! 
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