Integrale: come fareste voi?
Scusate se prendo a prestito il titolo di una famosa rubrica della Settimana Enigmistica, però sono due giorni che litigo con questo integrale:
$I=1/b \int_0^(b (1-a)) x*\sqrt(b^2-(x+ab)^2) " d"x$
dove $00$; dovrebbe uscirne qualcosa con $b^2$, $\sqrt(1-a^2)$ ed $arccos a$.
Sarà che ho la febbra e perciò non riesco a venirne a capo... Mah.
Perciò vi chiedo: come fareste voi?
Io avevo pensato di aggiungere e sottrarre $ab*\sqrt(b^2-(x+ab)^2)$ e scrivere una cosa del genere:
$I=1/b\int_0^(b (1-a))(x+ab)*\sqrt(b^2-(x+ab)^2)" d"x-1/b\int_0^(b (1-a)) ab*\sqrt(b^2-(x+ab)^2)" d"x=$
$\quad =b^2 \int_a^1 y*\sqrt(1-y^2)" d"y-ab^2 \int_a^1 \sqrt(1-y^2)" d"y=$
$\quad =-1/3b^2[(1-y^2)^(3/2)]_a^1-ab^2\int_a^1 \sqrt(1-y^2)" d"y=$
$\quad =1/3b^2 (1-a^2)\sqrt(1-a^2)-ab^2\int_a^1 \sqrt(1-y^2)" d"y$
L'ultimo integrale dovrebbe essere qualcosa tipo $y\sqrt(1-y^2)-arccosy$, o sbaglio?
P.S.: Pensare che domani devo assolutamente andare a seguire un seminario in questo stato...
$I=1/b \int_0^(b (1-a)) x*\sqrt(b^2-(x+ab)^2) " d"x$
dove $0
Sarà che ho la febbra e perciò non riesco a venirne a capo... Mah.
Perciò vi chiedo: come fareste voi?
Io avevo pensato di aggiungere e sottrarre $ab*\sqrt(b^2-(x+ab)^2)$ e scrivere una cosa del genere:
$I=1/b\int_0^(b (1-a))(x+ab)*\sqrt(b^2-(x+ab)^2)" d"x-1/b\int_0^(b (1-a)) ab*\sqrt(b^2-(x+ab)^2)" d"x=$
$\quad =b^2 \int_a^1 y*\sqrt(1-y^2)" d"y-ab^2 \int_a^1 \sqrt(1-y^2)" d"y=$
$\quad =-1/3b^2[(1-y^2)^(3/2)]_a^1-ab^2\int_a^1 \sqrt(1-y^2)" d"y=$
$\quad =1/3b^2 (1-a^2)\sqrt(1-a^2)-ab^2\int_a^1 \sqrt(1-y^2)" d"y$
L'ultimo integrale dovrebbe essere qualcosa tipo $y\sqrt(1-y^2)-arccosy$, o sbaglio?
P.S.: Pensare che domani devo assolutamente andare a seguire un seminario in questo stato...
Risposte
Ti suggerisco il metodo che uso io quando devo risolvere un integrale in cui si presenta una funzione della forma $\sqrt{\alpha^2-x^2}$. Poniamo $x+ab=b\sin t$ per cui
$dx=b\cos t\ dt$, $ x=0,\ t=\arcsin a$, $x=b(1-a), \ t=\pi/2$
e quindi
$1/b\int_0^{b(1-a)}\ x\cdot\sqrt{b^2-(x+ab)^2}\ dx=1/b\int_{\arcsin a}^{\pi/2}\ b(\sin t-a)\cdot\sqrt{b^2-b^2\sin^2 t}\cdot b\cos t\ dt=$
$\quad =b^2\int_{\arcsin a}^{\pi/2}\ (sin t-a)\cos^2 t\ dt=$
$\quad =b^2[\int_{\arcsin a}^{\pi/2}\ \sin t\cdot\cos^2 t\ dt-a\int_{\arcsin a}^{\pi/2}\ \cos^2 t\ dt]=
$\quad =b^2\{[-1/3\cdot\cos^3 t]_{\arcsin a}^{\pi/2}-a[t/2+{sin 2t}/4]_{\arcisin a}^{\pi/2}\}=$
$\quad =b^2\{1/3\cdot\sqrt{(1-a^2)^3}-a[\pi/4-1/2\arcsin a-a/2\cdot\sqrt{1-a^2}]\}$
(ti evito i passaggi algebrici per calcolare il valore dell'integrale!) Buona guarigione!
(E io ieri sono andato a fare 3 ore di lezione con la febbre, pensa che cavolate posso aver sparato!
)
$dx=b\cos t\ dt$, $ x=0,\ t=\arcsin a$, $x=b(1-a), \ t=\pi/2$
e quindi
$1/b\int_0^{b(1-a)}\ x\cdot\sqrt{b^2-(x+ab)^2}\ dx=1/b\int_{\arcsin a}^{\pi/2}\ b(\sin t-a)\cdot\sqrt{b^2-b^2\sin^2 t}\cdot b\cos t\ dt=$
$\quad =b^2\int_{\arcsin a}^{\pi/2}\ (sin t-a)\cos^2 t\ dt=$
$\quad =b^2[\int_{\arcsin a}^{\pi/2}\ \sin t\cdot\cos^2 t\ dt-a\int_{\arcsin a}^{\pi/2}\ \cos^2 t\ dt]=
$\quad =b^2\{[-1/3\cdot\cos^3 t]_{\arcsin a}^{\pi/2}-a[t/2+{sin 2t}/4]_{\arcisin a}^{\pi/2}\}=$
$\quad =b^2\{1/3\cdot\sqrt{(1-a^2)^3}-a[\pi/4-1/2\arcsin a-a/2\cdot\sqrt{1-a^2}]\}$
(ti evito i passaggi algebrici per calcolare il valore dell'integrale!) Buona guarigione!
(E io ieri sono andato a fare 3 ore di lezione con la febbre, pensa che cavolate posso aver sparato!
)
Vero, le sostituzioni trigonometriche sono sempre utili...
Ad ogni modo il problema che ho qui sotto mano è cercare una formula per esprimere un integrale del tipo:
$I_m=\int_0^(b(1-a))x^m*\sqrt(b^2-(x+ab)^2)" d"x$
con $m\in NN$.
(Formula che, così ad occhio, dovrebbe essere tipo $P_(m+1)(a)*\sqrt(1-a^2)+Q_(m)(a)*arccosa$, con $P_(m+1),Q_m$ polinomi di grado $m+1$ ed $m$).
Visto che devo ragionare induttivamente, in sostanza avevo pensato di "completare il binomio di Newton" $(x+ab)^m$ e scrivere:
$I_m=\int_0^(b(1-a)) (x+ab)^m*\sqrt(b^2-(x+ab)^2)" d"x-\sum_(k=1)^m ((m),(k)) (ab)^k\int_0^(b(1-a)) x^(m-k)*\sqrt(b^2-(x+ab)^2)" d"x$
cosicché tutto sta nel calcolare (o, quanto meno, determinare la forma) di un integrale del tipo:
$J_m=\int_a^1y^m*\sqrt(1-y^2)" d"x\quad$.
Con una sostituzione trigonometrica, ad occhio, direi che viene tipo $J_m=[(sin^(m+1)u)/(m+1)]_(arcsina)^(pi/2)$ il quale andrà semplificato adeguatamente.
Funziona?
Ad ogni modo il problema che ho qui sotto mano è cercare una formula per esprimere un integrale del tipo:
$I_m=\int_0^(b(1-a))x^m*\sqrt(b^2-(x+ab)^2)" d"x$
con $m\in NN$.
(Formula che, così ad occhio, dovrebbe essere tipo $P_(m+1)(a)*\sqrt(1-a^2)+Q_(m)(a)*arccosa$, con $P_(m+1),Q_m$ polinomi di grado $m+1$ ed $m$).
Visto che devo ragionare induttivamente, in sostanza avevo pensato di "completare il binomio di Newton" $(x+ab)^m$ e scrivere:
$I_m=\int_0^(b(1-a)) (x+ab)^m*\sqrt(b^2-(x+ab)^2)" d"x-\sum_(k=1)^m ((m),(k)) (ab)^k\int_0^(b(1-a)) x^(m-k)*\sqrt(b^2-(x+ab)^2)" d"x$
cosicché tutto sta nel calcolare (o, quanto meno, determinare la forma) di un integrale del tipo:
$J_m=\int_a^1y^m*\sqrt(1-y^2)" d"x\quad$.
Con una sostituzione trigonometrica, ad occhio, direi che viene tipo $J_m=[(sin^(m+1)u)/(m+1)]_(arcsina)^(pi/2)$ il quale andrà semplificato adeguatamente.
Funziona?
Sì, ti viene esattamente quello che dicevo io se già all'inizio fai la sostituzione trigonometrica! Comunque anche questo metodo non è male... forse solo un po' più alambiccoso (nel senso che passi, sostanzialmente, attraverso 2 sostituzioni!)
Ho scritto una vaccata stamattina... 
Praticamente mi sono dimenticato un coseno per la strada (sembrava troppo semplice!
).
Sempre partendo da $J_m=\int_a^1 y^m*\sqrt(1-y^2)" d"y$ con la sostituzione $sinu=y$, trovo:
$J_m=\int_(arcsina)^(pi/2) sin^m u*cos^2u " d"u=1/(m+1)int_(arcsin a)^(pi/2) cosu " d"(sin^(m+1)u)=$
$\quad =1/(m+1)[sin^(m+1)u*cos u]_(arcsin a)^(pi/2)+1/(m+1)\int_(arcsin a)^(pi/2) sin^(m+2)u" d"u=$
$\quad =1/(m+1) a^(m+1)*\sqrt(1-a^2)+1/(m+1) \int_(arcsin a)^(pi/2) sin^(m+2)u" d"u$
con l'ultimo integrale di cui è nota la formula ricorrente:
$\int_(arcsin a)^(pi/2) sin^(m+2)u" d"u=-1/(m+2)[sin^(m+1)u*cosu]_(arcsina)^(pi/2)+(m+1)/(m+2)\int_(arcsin a)^(pi/2) sin^m u" d"u=$
$\quad =-1/(m+2)a^(m+1)*\sqrt(1-a^2)+(m+1)/(m+2)\int_(arcsin a)^(pi/2) sin^m u" d"u \quad$;
mettendo insieme ho:
$J_m=1/((m+2)*(m+1))a^(m+1)*\sqrt(1-a^2)+(m+1)/(m+2)\int_(arcsin a)^(pi/2) sin^m u" d"u \ldots$
da cui procedo per ricorrenza.
Se facessi direttamente in $I_m=\int_0^(b(1-a)) x^m*\sqrt(b^2-(x+ab)^2)" d"x$ una sostituzione trigonometrica (tipo $b*sin u=x+ab$) arriverei comunque ad un punto in cui sviluppare un binomio di Newton*, quindi non è che risparmierei un granchè; tuttavia un approccio del genere potrebbe essere utile se volessi determinare esplicitamente i coefficienti dei polinomi che intervengono nel risultato dell'integrale...
Però ci devo pensare un po' su e devo mettermi (ancora, purtroppo) a fare conti.
Grazie ciampax.
__________
* Infatti ad un certo punto salterebbe fuori un integrando del tipo $sinu*(sinu-a)^m$
Praticamente mi sono dimenticato un coseno per la strada (sembrava troppo semplice!
).Sempre partendo da $J_m=\int_a^1 y^m*\sqrt(1-y^2)" d"y$ con la sostituzione $sinu=y$, trovo:
$J_m=\int_(arcsina)^(pi/2) sin^m u*cos^2u " d"u=1/(m+1)int_(arcsin a)^(pi/2) cosu " d"(sin^(m+1)u)=$
$\quad =1/(m+1)[sin^(m+1)u*cos u]_(arcsin a)^(pi/2)+1/(m+1)\int_(arcsin a)^(pi/2) sin^(m+2)u" d"u=$
$\quad =1/(m+1) a^(m+1)*\sqrt(1-a^2)+1/(m+1) \int_(arcsin a)^(pi/2) sin^(m+2)u" d"u$
con l'ultimo integrale di cui è nota la formula ricorrente:
$\int_(arcsin a)^(pi/2) sin^(m+2)u" d"u=-1/(m+2)[sin^(m+1)u*cosu]_(arcsina)^(pi/2)+(m+1)/(m+2)\int_(arcsin a)^(pi/2) sin^m u" d"u=$
$\quad =-1/(m+2)a^(m+1)*\sqrt(1-a^2)+(m+1)/(m+2)\int_(arcsin a)^(pi/2) sin^m u" d"u \quad$;
mettendo insieme ho:
$J_m=1/((m+2)*(m+1))a^(m+1)*\sqrt(1-a^2)+(m+1)/(m+2)\int_(arcsin a)^(pi/2) sin^m u" d"u \ldots$
da cui procedo per ricorrenza.
Se facessi direttamente in $I_m=\int_0^(b(1-a)) x^m*\sqrt(b^2-(x+ab)^2)" d"x$ una sostituzione trigonometrica (tipo $b*sin u=x+ab$) arriverei comunque ad un punto in cui sviluppare un binomio di Newton*, quindi non è che risparmierei un granchè; tuttavia un approccio del genere potrebbe essere utile se volessi determinare esplicitamente i coefficienti dei polinomi che intervengono nel risultato dell'integrale...
Però ci devo pensare un po' su e devo mettermi (ancora, purtroppo) a fare conti.
Grazie ciampax.
__________
* Infatti ad un certo punto salterebbe fuori un integrando del tipo $sinu*(sinu-a)^m$
Sai a cosa stavo pensando? Che forse vengono due cose diverse a seconda che $m$ sia pari o dispari! Infatti
$J_0=-1/2 a\cdot\sqrt{1-{a}^{2}}-1/2 \arcsin a+\pi/4$
mentre
$J_1=-1/3(a-1)(a+1)\cdot \sqrt{1-{a}^{2}}$
Ora, non mi sono messo a fare le prove, ma magari ti riesce più facile trovare una formula chiusa considerando i due casi separatamente!
$J_0=-1/2 a\cdot\sqrt{1-{a}^{2}}-1/2 \arcsin a+\pi/4$
mentre
$J_1=-1/3(a-1)(a+1)\cdot \sqrt{1-{a}^{2}}$
Ora, non mi sono messo a fare le prove, ma magari ti riesce più facile trovare una formula chiusa considerando i due casi separatamente!
Di questo fatto me n'ero accorto scrivendo la ricorrenza (infatti c'è un esponente che "zompa" di $2$).
Però i termini con l'arcocoseno (che poi sarebbe $pi/2 -arcsina$) possono lo stesso provenire dai termini precedenti (quelli nella sommatoria delle potenze in $I_m$).
Vabbè, stiamo sempre là: devo fare gli odiatissimi conti.
Però i termini con l'arcocoseno (che poi sarebbe $pi/2 -arcsina$) possono lo stesso provenire dai termini precedenti (quelli nella sommatoria delle potenze in $I_m$).
Vabbè, stiamo sempre là: devo fare gli odiatissimi conti.
Comunque quello che vuoi trovare è una formula chiusa, giusto?
Mi interesserebbe una forma chiusa, ma anche una formula ricorrente non mi farebbe schifo.
La situazione però è un po' brutta: infatti devo confrontare il risultato di questa schifezza con il risultato di un rapporto tra altri due integrali (più o meno dello stesso tipo) e dovrei mostrare che essi coincidono.
Praticamente sto cercando una disuguaglianza di tipo variazionale/isoperimetrico e ci sono di mezzo queste schifezze di integrali: la cosa bella è che il calcolo diretto sembra il modo più veloce per determinare gli estremanti del funzionale che entra in gioco!
La situazione però è un po' brutta: infatti devo confrontare il risultato di questa schifezza con il risultato di un rapporto tra altri due integrali (più o meno dello stesso tipo) e dovrei mostrare che essi coincidono.
Praticamente sto cercando una disuguaglianza di tipo variazionale/isoperimetrico e ci sono di mezzo queste schifezze di integrali: la cosa bella è che il calcolo diretto sembra il modo più veloce per determinare gli estremanti del funzionale che entra in gioco!
Mmmmmmmmmm....
Perché non lo scrivi tutto il problema? Magari guardandolo globalmente viene fuori qualcosa!
Perché non lo scrivi tutto il problema? Magari guardandolo globalmente viene fuori qualcosa!
Il problema è proprio il classico calcolo noiosissimo.
Praticamente, ponendo $b=1$ senza ledere la generalità, tutto si riduce a verificare che per la funzione a supporto compatto:
$f(x):=\{(\sqrt(1+x^2)-a, ", se " 0<=x<=\sqrt(1-a^2)),(0, ", se " x>=\sqrt(1-a^2)):}$
vale la seguente uguaglianza:
(I) $\quad (\int_0^(+oo) f*{\sqrt(1+(f')^2) -a} " d"x)^3/(\int_0^(+oo) f^2" d"x)^2="cost"*\int_0^(1-a) y\sqrt(1-(y+a)^2)" d"y \quad$ (qui $"cost"$ è una costante positiva);
una volta trovato un modo decente di procedere nel caso suddetto, provare a verificare un'uguaglianza del tipo:
(II) $\quad (\int_0^(+oo) f^m*{\sqrt(1+(f')^2) -a} " d"x)^(m+2)/(\int_0^(+oo) f^(m+1)" d"x)^(m+1)="cost"*\int_0^(1-a) y^m\sqrt(1-(y+a)^2)" d"y \quad$ (qui $"cost"$ è sempre positiva)
per ogni $m \in NN$.
Queste uguaglianze vengono fuori da combinazioni di area/perimetro/sezione di particolari corpi convessi di $RR^3$ (od $RR^(m+2)$ nel caso generale); praticamente il secondo membro mi serve esplicitarlo in qualche modo (o forma chiusa o forma ricorrente) per ottenere il valore minimo di un funzionale, che viene assunto (come credo) in $f$.
L'equazione di Eulero-Lagrange per il problema variazionale-isoperimetrico è difficile da risolvere.
L'idea che un estremale del mio funzionale sia proprio $f$ viene da considerazioni sulla natura geometrica del problema; in effetti, andando a sostituire nell'eq. E-L, si vede che $f$ ne è una soluzione.
Inoltre è facile verificare che altre possibili estremali, ossia altre soluzioni di E-L, possono essere derivati in modo molto semplice da $f$.
Purtroppo la funzione $F(x,u,z)$ che genera il funzionale $J$ non è convessa in $(u,z)$, quindi non posso usare la condizione sufficiente classica per il minimo ($f(x)" risolve E-L ed " F(x,u,z) " è convessa in " (u,z) => f(x) " è un minimo per il funzionale " J$).
Perciò, come detto sopra, l'unica strada che mi rimane è far vedere "a mano" che $J[f]=min J$ (infatti, senza la convessità di $F$, potrebbe anche essere $J[f]>min J$).
Ovviamente, mi metto nel supporto di $f$; lì dentro si ha:
$\sqrt(1+(f')^2)-a=1/\sqrt(1-x^2)-a \quad$,
quindi il numeratore ed il denominatore di (I), privati delle potenze esterne che per ora non ci interessano, diventano:
$\int_0^(\sqrt(1-a^2)) (\sqrt(1-x^2)-a)*(1/\sqrt(1-x^2)-a) " d"x \quad$ e $\quad \int_0^(\sqrt(1-a^2)) (\sqrt(1-x^2)-a)^2" d"x$
che sono calcolabili con un po' di sforzo; tuttavia, quando guardo al numeratore e denominatore del primo membro di (II), ossia:
$\int_0^(\sqrt(1-a^2)) (\sqrt(1-x^2)-a)^m*(1/\sqrt(1-x^2) -a) " d"x \quad$ e $\quad \int_0^(\sqrt(1-a^2)) (\sqrt(1-x^2)-a)^(m+1)" d"x$
mi rendo conto che devo fare calcoli.
Praticamente, ponendo $b=1$ senza ledere la generalità, tutto si riduce a verificare che per la funzione a supporto compatto:
$f(x):=\{(\sqrt(1+x^2)-a, ", se " 0<=x<=\sqrt(1-a^2)),(0, ", se " x>=\sqrt(1-a^2)):}$
vale la seguente uguaglianza:
(I) $\quad (\int_0^(+oo) f*{\sqrt(1+(f')^2) -a} " d"x)^3/(\int_0^(+oo) f^2" d"x)^2="cost"*\int_0^(1-a) y\sqrt(1-(y+a)^2)" d"y \quad$ (qui $"cost"$ è una costante positiva);
una volta trovato un modo decente di procedere nel caso suddetto, provare a verificare un'uguaglianza del tipo:
(II) $\quad (\int_0^(+oo) f^m*{\sqrt(1+(f')^2) -a} " d"x)^(m+2)/(\int_0^(+oo) f^(m+1)" d"x)^(m+1)="cost"*\int_0^(1-a) y^m\sqrt(1-(y+a)^2)" d"y \quad$ (qui $"cost"$ è sempre positiva)
per ogni $m \in NN$.
Queste uguaglianze vengono fuori da combinazioni di area/perimetro/sezione di particolari corpi convessi di $RR^3$ (od $RR^(m+2)$ nel caso generale); praticamente il secondo membro mi serve esplicitarlo in qualche modo (o forma chiusa o forma ricorrente) per ottenere il valore minimo di un funzionale, che viene assunto (come credo) in $f$.
L'equazione di Eulero-Lagrange per il problema variazionale-isoperimetrico è difficile da risolvere.
L'idea che un estremale del mio funzionale sia proprio $f$ viene da considerazioni sulla natura geometrica del problema; in effetti, andando a sostituire nell'eq. E-L, si vede che $f$ ne è una soluzione.
Inoltre è facile verificare che altre possibili estremali, ossia altre soluzioni di E-L, possono essere derivati in modo molto semplice da $f$.
Purtroppo la funzione $F(x,u,z)$ che genera il funzionale $J$ non è convessa in $(u,z)$, quindi non posso usare la condizione sufficiente classica per il minimo ($f(x)" risolve E-L ed " F(x,u,z) " è convessa in " (u,z) => f(x) " è un minimo per il funzionale " J$).
Perciò, come detto sopra, l'unica strada che mi rimane è far vedere "a mano" che $J[f]=min J$ (infatti, senza la convessità di $F$, potrebbe anche essere $J[f]>min J$).
Ovviamente, mi metto nel supporto di $f$; lì dentro si ha:
$\sqrt(1+(f')^2)-a=1/\sqrt(1-x^2)-a \quad$,
quindi il numeratore ed il denominatore di (I), privati delle potenze esterne che per ora non ci interessano, diventano:
$\int_0^(\sqrt(1-a^2)) (\sqrt(1-x^2)-a)*(1/\sqrt(1-x^2)-a) " d"x \quad$ e $\quad \int_0^(\sqrt(1-a^2)) (\sqrt(1-x^2)-a)^2" d"x$
che sono calcolabili con un po' di sforzo; tuttavia, quando guardo al numeratore e denominatore del primo membro di (II), ossia:
$\int_0^(\sqrt(1-a^2)) (\sqrt(1-x^2)-a)^m*(1/\sqrt(1-x^2) -a) " d"x \quad$ e $\quad \int_0^(\sqrt(1-a^2)) (\sqrt(1-x^2)-a)^(m+1)" d"x$
mi rendo conto che devo fare calcoli.
Aggiunta, dopo la classica "botta di c**o".
Con un'azzardata sottrazione, sono riuscito a mostrare che i due integrali che chiudono l'ultimo post differiscono per una costante moltiplicativa, quindi con una semplice sostituzione si verifica facilmente la (II). Ciò implica che la mia $f$ è un minimo per il mio $J$ e sono felice.
Ora mi rimane solo da determinare una forma decente per l'integrale:
$I_m=\int_0^(b(1-a))x^m*\sqrt(b^2-(x+ab)^2)" d"x$
con cui ho aperto il secondo post.
Tuttavia sono convinto che la congettura $I_m=b^("qualcosa")*[P_(m+1)(a)*\sqrt(1-a^2)+Q_m(a)*arccos a]$ (con $P_(m+1),Q_m$ polinomi e $"qualcosa"$ dipendente linearmente da $m$) sia facile da dimostrare per ricorrenza. Probabilmente trovare una forma chiusa è difficile.
Con un'azzardata sottrazione, sono riuscito a mostrare che i due integrali che chiudono l'ultimo post differiscono per una costante moltiplicativa, quindi con una semplice sostituzione si verifica facilmente la (II). Ciò implica che la mia $f$ è un minimo per il mio $J$ e sono felice.
Ora mi rimane solo da determinare una forma decente per l'integrale:
$I_m=\int_0^(b(1-a))x^m*\sqrt(b^2-(x+ab)^2)" d"x$
con cui ho aperto il secondo post.
Tuttavia sono convinto che la congettura $I_m=b^("qualcosa")*[P_(m+1)(a)*\sqrt(1-a^2)+Q_m(a)*arccos a]$ (con $P_(m+1),Q_m$ polinomi e $"qualcosa"$ dipendente linearmente da $m$) sia facile da dimostrare per ricorrenza. Probabilmente trovare una forma chiusa è difficile.
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