Integrale come effettuare un cambio di variabile

[angelox9]

Sto avendo qualche dubbio sul ricordarmi come si effettua un cambio di variabile in un integrale.

Ho il seguente integrale:

$\Delta \vec{r} = int_(\vec{r}_{0})^(\vec{r}(t)) d\vec{r} $

So che:

$\vec{V}(t) = \frac{d\vec{r}}{dt}$

Quindi:
$d\vec{r} = \vec{V}(t) dt$

Poi diventa:
$\Delta \vec{r} = int_(0)^(t) \vec{V}(t) dt $

Penso che per l'argomento dentro integrale ci siamo, ma per il cambio di variabile nel range di definizione, sto avendo dei dubbi.

Quali sono i giusti passaggi che devono essere eseguiti?

[FibratoTangente]

Formalmente la scrittura
$$\int_{\vec r_0}^{\vec r(t)} d\vec r$$
indica un integrale vettoriale. Proiettando sui versori $\hat x, \hat y, \hat z$ si ottengono i tre integrali

$$\int_{x_0}^{x(t)} dx$$
$$\int_{y_0}^{y(t)} dy$$
$$\int_{z_0}^{z(t)} dz$$

Per ciascuno di questi 3 integrali (che costituisce un ordinario integrale a una variabile di Analisi 1) possiamo fare un cambiamento di variabile, Il teorema di sostituzione ci dice che
$$ \int_{\phi(0)}^{\phi(t)} d\phi = \int_0^t \frac{d\phi}{dt} dt $$
Il cambiamento degli estremi di integrazione viene sancito proprio dal suddetto teorema, intuitivamente significa che invece di spaziare per tutti i valori delle $\phi$, unac volta cambiato variabile sommero lungo le t corrispondenti,
Chiaramente nel nostro esempio la funzione $\phi(t)$ sarà $x(t),y(t),z(t)$ e le derivate saranno le velocità lungo i 3 assi.