Integrale come arcotangente
esiste un'espressione generale per $\int 1/(ax^2 +bx +c) dx$ se il denominatore e' irriducibile?
Risposte
irriducibile = nessuno zero reale?
Sbaglio o in questi casi si cerca sempre di ricondursi all'arcotangente? 
@cavallipurosangue: non sbagli
se il polinomio a denominatore non ha zeri reali, lo si può scivere come una somma di una termine del tipo $(px+q)^2$ più una costante positiva
da qui con una sostituzione si passa ad avere a denominatore $t^2 + 1$, ed un po' di costanti qua e là tra i piedi
i conti meglio non chiederli a me, se uno li vuole corretti
comunque questa è roba che si trova su tutti i manuali: con un po' di fortuna si riesce a trovare anche la formula bella e pronta (che può anche essere "autocostruita")
se il polinomio a denominatore non ha zeri reali, lo si può scivere come una somma di una termine del tipo $(px+q)^2$ più una costante positiva
da qui con una sostituzione si passa ad avere a denominatore $t^2 + 1$, ed un po' di costanti qua e là tra i piedi
i conti meglio non chiederli a me, se uno li vuole corretti
comunque questa è roba che si trova su tutti i manuali: con un po' di fortuna si riesce a trovare anche la formula bella e pronta (che può anche essere "autocostruita")
ricordo ci fosse una formula... ovviamente non ricordo quale essa sia, però può essere ricavata passando al campo complesso: si spezza la frazione in due e si trovano i residui, si integra e si semplifica... grande scocciatura!
"vl4d":
esiste un'espressione generale per $\int 1/(ax^2 +bx +c) dx$ se il denominatore e' irriducibile?
se $ac-b^2>0$
$int (dx)/(a+2b+cx^2)=1/sqrt(ac-b^2)tan^-1((b+cx)/sqrt(ac-b^2))+K$
se $ac-b^2<0$
$int (dx)/(a+2b+cx^2)=-1/sqrt(b^2-ac)tan^-1((b+cx)/sqrt(b^2-ac))+K$
se $ac-b^2=0$
$int (dx)/(a+2b+cx^2)=-b/(b+cx)+K$
sbaglierò i conti, ma c'è chi è ben peggio di me e per giunta fa apposta a confondere le acque... 
- nelle formule di carlo23 mi sa che ci dovrebbe essere un $2bx$ al posto di $2b$
- per cui (ed inoltre) le $a,b,c$ di vl4d sono, nelle notazioni di carlo23: $c,2b,a$. Mi chiedo se sia "pigrizia" di carlo23 o sadismo
- non ho bisogno di fare alcun calcolo per capire che la prima formula di carlo23 è sbagliata. Il "risultato" dato rappresenta una funzione che è definita su tutto $RR$ ed ivi regolarissima. Quindi NON può avere come derivata una funzione che non è definita in due punti nei quali il limite è infinito (ho al denominatore un polinomio di secondo grado con il "delta" positivo)
- carlo23 nel primo e terzo caso ignora, come fanno molti, il fatto che non stiamo integrando su intervalli. Per cui le primitive non sono definite "a meno di una costante $K$", ma di costanti ne servono tante quanti sono gli intervalli (e pertanto 2 nel terzo caso; nel primo caso di costanti me ne servono 3)
- comunque, la formula che interessava a vl4d dovrebbe essere la seconda, che ha ragionevoli possibilità di essere corretta (tenendo conto di quanto detto sopra nei primi due punti). Consiglierei a vl4d di fare comunque una verifica, calcolando la derivata
la proposta di Kroldar potrebbe essere corretta (non oso avventurarmi in un campo tanto complesso), ma penso che vl4d fosse più interessato all'approccio usato da carlo23. Però il bello dei forum è proprio nella diversità di approcci!
- nelle formule di carlo23 mi sa che ci dovrebbe essere un $2bx$ al posto di $2b$
- per cui (ed inoltre) le $a,b,c$ di vl4d sono, nelle notazioni di carlo23: $c,2b,a$. Mi chiedo se sia "pigrizia" di carlo23 o sadismo
- non ho bisogno di fare alcun calcolo per capire che la prima formula di carlo23 è sbagliata. Il "risultato" dato rappresenta una funzione che è definita su tutto $RR$ ed ivi regolarissima. Quindi NON può avere come derivata una funzione che non è definita in due punti nei quali il limite è infinito (ho al denominatore un polinomio di secondo grado con il "delta" positivo)
- carlo23 nel primo e terzo caso ignora, come fanno molti, il fatto che non stiamo integrando su intervalli. Per cui le primitive non sono definite "a meno di una costante $K$", ma di costanti ne servono tante quanti sono gli intervalli (e pertanto 2 nel terzo caso; nel primo caso di costanti me ne servono 3)
- comunque, la formula che interessava a vl4d dovrebbe essere la seconda, che ha ragionevoli possibilità di essere corretta (tenendo conto di quanto detto sopra nei primi due punti). Consiglierei a vl4d di fare comunque una verifica, calcolando la derivata
la proposta di Kroldar potrebbe essere corretta (non oso avventurarmi in un campo tanto complesso), ma penso che vl4d fosse più interessato all'approccio usato da carlo23. Però il bello dei forum è proprio nella diversità di approcci!
e' un po' incasinato (come il mio solito) ma io ho pensato a una cosa cosi':
tenendo conto che il polinomio e' irriducibile abbiamo $b^2 - 4ac < 0 \iff 4ac - b^2 > 0$, poi supponiamo anche che $a > 0$ in modo che $\sqrt(a)$ sia definita,
$int \1/(ax^2 +bx +c) dx = 4 int \1/(4ax^2 +4bx +4c) dx = 4 \int 1/((2\sqrt(a)x)^2 + 2*2\sqrt(a)(b/\sqrt(a))x + (b/\sqrt(a))^2 + (4c - (b/\sqrt(a))^2)) = 4 \int 1/((2\sqrt(a)x + b/\sqrt(a))^2 + (4c - (b/\sqrt(a))^2)) = 4/(4c - (b/\sqrt(a))^2) \int 1/(((2\sqrt(a)x + b/\sqrt(a))^2 + (4c - (b/\sqrt(a))^2))/(4c - (b/\sqrt(a))^2)) = 4/(4c - (b^2/a)) \int 1/(1 + ((2sqrt(a)x + b/sqrt(a))/(sqrt(4c - b^2/a)) )^2 ) = $
=$ 4/(4c - (b^2/a))(sqrt(4c - b^2/a))/(2\sqrt(a)) \int ((2\sqrt(a))/(sqrt(4c - b^2/a)))/(1 + ((2sqrt(a)x + b/sqrt(a))/(sqrt(4c - b^2/a)) )^2 ) = 2/((\sqrt(a))sqrt(4c - (b^2/a))) arctg((2sqrt(a)x + b/sqrt(a))/(sqrt(4c - b^2/a)) ) + C$
se $a < 0$ considero $- int 1/(-(ax^2 +bx +c))$ che e' comunque un irriducibile a denominatore
mi sembra simile a quella di carlo23 pero' io ho quel $\sqrt(a)$... ma forse si poteva togliere (??)
(ok ho finito)
tenendo conto che il polinomio e' irriducibile abbiamo $b^2 - 4ac < 0 \iff 4ac - b^2 > 0$, poi supponiamo anche che $a > 0$ in modo che $\sqrt(a)$ sia definita,
$int \1/(ax^2 +bx +c) dx = 4 int \1/(4ax^2 +4bx +4c) dx = 4 \int 1/((2\sqrt(a)x)^2 + 2*2\sqrt(a)(b/\sqrt(a))x + (b/\sqrt(a))^2 + (4c - (b/\sqrt(a))^2)) = 4 \int 1/((2\sqrt(a)x + b/\sqrt(a))^2 + (4c - (b/\sqrt(a))^2)) = 4/(4c - (b/\sqrt(a))^2) \int 1/(((2\sqrt(a)x + b/\sqrt(a))^2 + (4c - (b/\sqrt(a))^2))/(4c - (b/\sqrt(a))^2)) = 4/(4c - (b^2/a)) \int 1/(1 + ((2sqrt(a)x + b/sqrt(a))/(sqrt(4c - b^2/a)) )^2 ) = $
=$ 4/(4c - (b^2/a))(sqrt(4c - b^2/a))/(2\sqrt(a)) \int ((2\sqrt(a))/(sqrt(4c - b^2/a)))/(1 + ((2sqrt(a)x + b/sqrt(a))/(sqrt(4c - b^2/a)) )^2 ) = 2/((\sqrt(a))sqrt(4c - (b^2/a))) arctg((2sqrt(a)x + b/sqrt(a))/(sqrt(4c - b^2/a)) ) + C$
se $a < 0$ considero $- int 1/(-(ax^2 +bx +c))$ che e' comunque un irriducibile a denominatore
mi sembra simile a quella di carlo23 pero' io ho quel $\sqrt(a)$... ma forse si poteva togliere (??)
(ok ho finito)
@vl4d
belli questi integrali, così lunghi!
per vedere se il risultato è corretto, basta fare una derivata
quanto a $\sqrt a$, così come hai supposto giustamente che fosse $a >0$, potevi anche supporre $a=1$, tanto c'è di mezzo solo una costante. Direi ne varrebbe la pena. Andare avanti e indietro dal caso $a=1$ a quello generale è facile
in ogni caso la strada che hai seguito è senz'altro giusta
belli questi integrali, così lunghi!
per vedere se il risultato è corretto, basta fare una derivata
quanto a $\sqrt a$, così come hai supposto giustamente che fosse $a >0$, potevi anche supporre $a=1$, tanto c'è di mezzo solo una costante. Direi ne varrebbe la pena. Andare avanti e indietro dal caso $a=1$ a quello generale è facile
in ogni caso la strada che hai seguito è senz'altro giusta
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