Integrale col teorema dei residui : intoppo!

[asabasa]

E' da poco che ho iniziato lo studio dell'analisi complessa, e a meno di integrali più semplici, mi blocco sempre allo stesso punto!


Ecco un esempio:

$int_{-infty}^{+infty} cosx/{(1+x^2)(x^2+x+1)}$

Considero la funzione

$f(z)=e^{iz}/{(1+z^2)(z^2+z+1)}$ olomorfa in $CC$ meno i poli

I poli sono 4 , tutti semplici

$z_1=i$
$z_2=-i$
$z_3={-1+isqrt3}/2$
$z_4={-1-isqrt3}/2$

Senza riportare tutti i calcoli, trovo i residui e trovo che

$int_gamma f(z) dz= Res(f(z),z_1)+Res(f(z),z_3)= -{2pii}/{2e} + 2πi 1/{sqrt{3i}}e^{-sqrt3/2} e^{i(π/3−1/2)}$


dove $gamma$ è il cammino formato dal segmento $[-R,R]$ e dalla semicirconferenza $Re^{it}$

$int_gamma f(z) dz = int_{-R}^{R} e^{ix}/{(1+x^2)(x^2+x+1)}dx +int_o^{pi} {e^{iR(cost+sent)}iRe^{it}}/{(1+R^2e^{2it})(R^2e^{2it} + Re^{it} +1)}dt$

(quindi fin qui tutto bene, salvo errori di calcolo o di trascrizione )

A questo punto devo provare che il secondo addendo tende a zero per $R -> infty$

Il testo riporta questo passaggio per dimostrarlo

$|{e^{iR(cost+isent)}iRe^{it}}/{(1+R^2e^{2it})(R^2e^{2it} + Re^{it} +1)}|<={Re^{-Risent}}/{(R^2-1)(R^2-R-1)}$

qualcuno mi spiega come ci si arriva?

[Sk_Anonymous]

Devi far uso della relazione:
$|z_1+z_2|>=|z_1|-|z_2|$

[asabasa]

"ciromario":Devi far uso della relazione:
$|z_1+z_2|>=|z_1|-|z_2|$

Grazie dello spunto, potresti mostrarmi come la devo applicare?

[Sk_Anonymous]

$|z^2+1|>=|z|^2-1=R^2-1$
$|(z^2+z)+1|>=|z^2+z|-1>=|z|^2-|z|-1=R^2-R-1$
Per R sufficientemente grande:
$|f(z)|=|{e^{iz}}/{(z^2+1)(z^2+z+1)}|<=1/{(R^2-1)(R^2-R-1)}<=1/{R^3}$
Pertanto l'integrale su $Gamma$ tende a 0 per $R->+oo$

[xdom="gugo82"]Cancellato commento non attinente alla sezione del forum.[/xdom]

[asabasa]

"ciromario":$|z^2+1|>=|z|^2-1=R^2-1$
$|(z^2+z)+1|>=|z^2+z|-1>=|z|^2-|z|-1=R^2-R-1$
Per R sufficientemente grande:
$|f(z)|=|{e^{iz}}/{(z^2+1)(z^2+z+1)}|<=1/{(R^2-1)(R^2-R-1)}<=1/{R^3}$
Pertanto l'integrale su $Gamma$ tende a 0 per $R->+oo$

Grazie mille!!
Ora è chiaro

Ma ho un ultima perplessità : tu lo hai dimostrato partendo da $|f(z)|=|{e^{iz}}/{(z^2+1)(z^2+z+1)}|$

Mentre invece il testo parte da:

$ |{e^{iR(cost+isent)}iRe^{it}}/{(1+R^2e^{2it})(R^2e^{2it} + Re^{it} +1)}|$

i due procedimenti sono equivalenti?

[Sk_Anonymous]

Non ho verificato l'altro procedimento. Anche perché mi sembra inutilmente più oneroso: meglio agire direttamente
sulla f(z) così come è stata data.

[asabasa]

"ciromario":Non ho verificato l'altro procedimento. Anche perché mi sembra inutilmente più oneroso: meglio agire direttamente
sulla f(z) così come è stata data.

Grazie
alla prossima!