Integrale circolare fratto?

[claudiocarcaci]

La domanda è semplicissima:
$\int (sin(x))/(sin(x)^2+1) dx = ?$

[Seneca1]

[xdom="Seneca"]Ho sistemato la formula (era illeggibile). Visto che non sei nuovo del forum dovresti sapere che il regolamento impone di postare i propri tentativi quando si chiede aiuto per la risoluzione di un esercizio.[/xdom]

[claudiocarcaci]

Hai ragione, il problema è che i tentativi sono quattro fogli fronte-retro.

Diciamo che: ho provato con le sostituzioni:
$ t=sin(x) $
$ t=sin(x)^2+1 $
In entrambi i casi si ottengono integrali da risolvere per parti che però portano ad una forma dove tutto si semplifica 0=0.

Evidentemente ignoro qualche trasformazione significativa perchè la funzione risulta integrabile su tutto R.

[21zuclo]

ATTENZIONE PERO'.. quel $\sin (x)^2$ cosa significa?..significa questo? $\sin^2 x$ oppure è $\sin(x^2)$. Perchè le 2 cose sono ben diverse

[claudiocarcaci]

E' un $ sin^2(x) $

[ciampax]

Sostituzione parametrica: $\sin x={2t}/{1+t^2}$ dove $t=\tan x/2$ e quindi $dx=2/{1+t^2}\ dt$ e passa la paura (anche se l'integrale è un po' lunghetto da calcolare)

[claudiocarcaci]

Ci provo!
In effetti avevo pensato ad una soluzione del genere... ma è lungherrima, vabè mi sa che è l'unica.
Mi fa specie che è un libro delle superiori quindi non pensavo ad integrali del genere

[Palliit]

Ciao. In alternativa puoi mettere:__$\sin^2 x=1-\cos^2 x$__a denominatore, trovi:__[tex]\int \frac{\sin x}{2-\cos^2x}\mathrm{d} x[/tex]__, e a questo punto la sostituzione: $z=\cos x$__è ovvia.

[claudiocarcaci]

"Palliit":Ciao. In alternativa puoi mettere:__$\sin^2 x=1-\cos^2 x$__a denominatore, trovi:__[tex]\int \frac{\sin x}{2-\cos^2x}\mathrm{d} x[/tex]__, e a questo punto la sostituzione: $z=\cos x$__è ovvia.

No, già provato, viene fuori un calcolo dell'integrale che degenera in 0=0

[Seneca1]

Mi sembra che invece la sostituzione funzioni. Prova a postare i calcoli che ti fanno arrivare a questa "degenerazione".

[claudiocarcaci]

"Seneca":Mi sembra che invece la sostituzione funzioni. Prova a postare i calcoli che ti fanno arrivare a questa "degenerazione".

Pardon, errore mio
In effetto con la sostituzione $ t=cos(x) $ poi attraverso $ dx $ si semplifica il numeratore e viene un semplice integrale con separazione

Usando invece la sostituzione $ t = tg(x/2) $ si perviene ad una forma dove il denominatore è una espressione di quarto grado abbastanza ostica