Integrale chimica
Buonasera ragazzi, premetto che non mastico molto le derivate e gli integrali (conoscono le definizioni e so sommariamente cosa sono, ma non nello specifico). Qualcuno potrebbe spiegarmi questo integrale? Anche se so risolverlo in base alle indicazioni del docente, non so spiegarlo e non so da che definizione derivi.
Risposte
Ho approvato il messaggio ma la prossima volta cerca di non postare formule fotografate, invece usa l'apposito strumento [formule][/formule].
Ciao RoccoMir,
Benvenuto sul forum!
Più che un integrale di Chimica, mi pare più Fisica, in particolare Termodinamica...
Provo a riscrivere correttamente le formule della foto che hai postato, così magari modifichi il post di conseguenza eliminando quella brutta foto, che immagino dissonance ti abbia fatto passare solo perché si tratta pur sempre del tuo primo post...
La variazione della funzione di stato entropia $S $ venne introdotta nel 1864 da Rudolf Clausius nell'ambito della termodinamica come:
$\Delta S = q_{rev}/T $
dove $q_{rev} $ è la quantità di calore assorbita o ceduta in maniera reversibile e isoterma dal sistema a temperatura $T $. In forma differenziale, la legge si presenta così:
$\text{d}S = (\delta q_{rev})/T $
Anche se $ \delta q_{rev} $ non è un differenziale esatto, dividerlo per la temperatura $T $ lo rende tale: $1/T $ è dunque il fattore di integrazione. Inoltre, $\text{d}S $ è un differenziale esatto se e solo se è valido il secondo principio della termodinamica. In una delle sue diverse formulazioni, il secondo principio della termodinamica afferma che in un sistema isolato l'entropia può solo aumentare, o al limite rimanere costante per cicli termodinamici reversibili.
Se, come hai scritto, assumiamo che $T $ sia praticamente costante nell'intervallo infinitesimo $ \text{d}q_{rev} $, allora si ha:
$\text{d}S = (\text{d}q_{rev})/T $
In generale il calore specifico $c = (\text{d}q)/(\text{d}T) \implies \text{d}q_{rev} = c \text{d}T $ per cui, sostituendo nell'equazione precedente, si ottiene proprio
$\text{d}S = (c \text{d}T)/T $
Integrando quest'ultima relazione fra due stati $(S_1, T_1) $ e $(S_2, T_2) $ si ha:
$ \int_{S_1}^{S_2} \text{d}S = \int_{T_1}^{T_2} (c \text{d}T)/T $
$_{S_1}^{S_2} = c \int_{T_1}^{T_2} (\text{d}T)/T $
$\Delta S := S_2 - S_1 = c [ln T]_{T_1}^{T_2} $
$\Delta S = c [ln T_2 - ln T_1] $
$\Delta S = c ln((T_2)/(T_1)) $
P.S. Prima che mi pervenga la scomunica ufficiale del Prof. Fioravante Patrone, che a dire il vero mi aspettavo poco dopo il completamento della mia risposta (probabilmente è un periodo che ha da fare... ) specifico che ho mantenuto le notazioni ed i simboli riportati nell'immagine che hai postato, ma se preferisci una spiegazione formalmente corretta puoi dare un'occhiata ad esempio qui.
Benvenuto sul forum!
Più che un integrale di Chimica, mi pare più Fisica, in particolare Termodinamica...
Provo a riscrivere correttamente le formule della foto che hai postato, così magari modifichi il post di conseguenza eliminando quella brutta foto, che immagino dissonance ti abbia fatto passare solo perché si tratta pur sempre del tuo primo post...
La variazione della funzione di stato entropia $S $ venne introdotta nel 1864 da Rudolf Clausius nell'ambito della termodinamica come:
$\Delta S = q_{rev}/T $
dove $q_{rev} $ è la quantità di calore assorbita o ceduta in maniera reversibile e isoterma dal sistema a temperatura $T $. In forma differenziale, la legge si presenta così:
$\text{d}S = (\delta q_{rev})/T $
Anche se $ \delta q_{rev} $ non è un differenziale esatto, dividerlo per la temperatura $T $ lo rende tale: $1/T $ è dunque il fattore di integrazione. Inoltre, $\text{d}S $ è un differenziale esatto se e solo se è valido il secondo principio della termodinamica. In una delle sue diverse formulazioni, il secondo principio della termodinamica afferma che in un sistema isolato l'entropia può solo aumentare, o al limite rimanere costante per cicli termodinamici reversibili.
Se, come hai scritto, assumiamo che $T $ sia praticamente costante nell'intervallo infinitesimo $ \text{d}q_{rev} $, allora si ha:
$\text{d}S = (\text{d}q_{rev})/T $
In generale il calore specifico $c = (\text{d}q)/(\text{d}T) \implies \text{d}q_{rev} = c \text{d}T $ per cui, sostituendo nell'equazione precedente, si ottiene proprio
$\text{d}S = (c \text{d}T)/T $
Integrando quest'ultima relazione fra due stati $(S_1, T_1) $ e $(S_2, T_2) $ si ha:
$ \int_{S_1}^{S_2} \text{d}S = \int_{T_1}^{T_2} (c \text{d}T)/T $
$
$\Delta S := S_2 - S_1 = c [ln T]_{T_1}^{T_2} $
$\Delta S = c [ln T_2 - ln T_1] $
$\Delta S = c ln((T_2)/(T_1)) $
P.S. Prima che mi pervenga la scomunica ufficiale del Prof. Fioravante Patrone, che a dire il vero mi aspettavo poco dopo il completamento della mia risposta (probabilmente è un periodo che ha da fare...
) specifico che ho mantenuto le notazioni ed i simboli riportati nell'immagine che hai postato, ma se preferisci una spiegazione formalmente corretta puoi dare un'occhiata ad esempio qui.
Ma ho una così brutta fama? Ottimo!
A dire il vero, leggendo la tua risposta, più che altro mi chiedevo se RoccoMir avesse gli strumenti per capirla. Temo di no, da quello che diceva nel post. Mi sa che ha bisogno di riempire un bel po' di buchi, ad esempio immagino che "fattore integrante" sia per lui un oggetto misterioso. Non ne faccio una colpa, né a lui né a te: è solo una mia constatazione (o solo opinione?)
A dire il vero, leggendo la tua risposta, più che altro mi chiedevo se RoccoMir avesse gli strumenti per capirla. Temo di no, da quello che diceva nel post. Mi sa che ha bisogno di riempire un bel po' di buchi, ad esempio immagino che "fattore integrante" sia per lui un oggetto misterioso. Non ne faccio una colpa, né a lui né a te: è solo una mia constatazione (o solo opinione?)
"Fioravante Patrone":
Ma ho una così brutta fama? Ottimo!
Beh, la tua prima risposta ad un mio post quando ero ancora un novizio (del forum intendiamoci...
) mi è rimasta impressa parecchio: diciamo che se uno degli scopi principali di un docente è stimolare la riflessione nei discenti nel mio caso hai centrato in pieno l'obbiettivo, inducendomi a riflettere su questioni che davo (erroneamente) per scontate..."Fioravante Patrone":
A dire il vero, leggendo la tua risposta, più che altro mi chiedevo se RoccoMir avesse gli strumenti per capirla. Temo di no, da quello che diceva nel post. Mi sa che ha bisogno di riempire un bel po' di buchi, ad esempio immagino che "fattore integrante" sia per lui un oggetto misterioso.
Concordo. Purtroppo è ciò che succede spesso quando un utente che ha posto una questione non risponde più: non essendoci un feedback, non si comprende se si è centrata la questione e soprattutto se l'utente ha capito la risposta data.
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