Integrale che restituisce funzione fattore dell'integrando
Ciao, amici! Sono convinto che, sotto opportune ipotesi su \(\varphi:\mathbb{R}^3\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \((\boldsymbol{\xi},\tau)\mapsto \varphi(\boldsymbol{\xi},\tau)\), per es. \(\varphi\in C_c^2(\mathbb{R}^4)\) a supporto compatto, valga per ogni \(c\in\mathbb{R}\) la seguente identità:
$$\int_{\mathbb{R}^3}\frac{\nabla_{\boldsymbol{\xi}}^2\varphi(\boldsymbol{y},t-c\|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\|)}{\|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\|} -\frac{c^2\ddot\varphi(\boldsymbol{y},t-c\|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\|)}{\|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\|} d\mu_{\boldsymbol{y}}=-4\pi\varphi(\boldsymbol{x},t)\quad\quad(1)$$dove \(\nabla_{\boldsymbol{\xi}}^2\varphi\) è il laplaciano calcolato rispetto alla prima variabile tridimensionale di \(\varphi\) (che ho chiamato sopra \(\boldsymbol{\xi}\)) e \(\ddot\varphi\) è la derivata seconda rispetto alla seconda variabile di \(\varphi\).
Sono convinto che valga perché, se valesse, potrebbe essere usata per dimostrare rigorosamente che il potenziale ritardato con la gauge di Lorenz \(\boldsymbol{A}\) soddisfa l'identità \(\nabla^2\boldsymbol{A}-\varepsilon_0\mu_0\frac{\partial^2 }{\partial t^2}\boldsymbol{A}=-\mu_0\boldsymbol{J}\) allo stesso modo in cui la stessa identità con $c=0$, dimostrata ad esempio qui, può essere usata per dimostrare che il potenziale magnetostatico soddisfa \(\nabla^2\boldsymbol{A}=-\mu_0\boldsymbol{J}\).
$\infty$ grazie a tutti!
$$\int_{\mathbb{R}^3}\frac{\nabla_{\boldsymbol{\xi}}^2\varphi(\boldsymbol{y},t-c\|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\|)}{\|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\|} -\frac{c^2\ddot\varphi(\boldsymbol{y},t-c\|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\|)}{\|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\|} d\mu_{\boldsymbol{y}}=-4\pi\varphi(\boldsymbol{x},t)\quad\quad(1)$$dove \(\nabla_{\boldsymbol{\xi}}^2\varphi\) è il laplaciano calcolato rispetto alla prima variabile tridimensionale di \(\varphi\) (che ho chiamato sopra \(\boldsymbol{\xi}\)) e \(\ddot\varphi\) è la derivata seconda rispetto alla seconda variabile di \(\varphi\).
Sono convinto che valga perché, se valesse, potrebbe essere usata per dimostrare rigorosamente che il potenziale ritardato con la gauge di Lorenz \(\boldsymbol{A}\) soddisfa l'identità \(\nabla^2\boldsymbol{A}-\varepsilon_0\mu_0\frac{\partial^2 }{\partial t^2}\boldsymbol{A}=-\mu_0\boldsymbol{J}\) allo stesso modo in cui la stessa identità con $c=0$, dimostrata ad esempio qui, può essere usata per dimostrare che il potenziale magnetostatico soddisfa \(\nabla^2\boldsymbol{A}=-\mu_0\boldsymbol{J}\).
$\infty$ grazie a tutti!
Risposte
Avrei voluto adattare la dimostrazione linkata per il caso $c=0$, ma non riesco perché lì si usa la seconda identità di Green, che non riesco ad applicare qui. Infatti, se \(\tilde{\varphi}(\boldsymbol{y},t):=\varphi(\boldsymbol{y},t-c\|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\|)\), io calcolo \(\nabla_{\boldsymbol{y}}^2\tilde{\varphi}(\boldsymbol{y},t)\) \(=\nabla_{\boldsymbol{\xi}}^2\varphi(\boldsymbol{y},t-c\|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\|)+2c\nabla_{\boldsymbol{\xi}}\dot\varphi(\boldsymbol{y},t-c\|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\|)\cdot\frac{\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}}{\|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\|}-\frac{2c}{\|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\|}\dot\varphi(\boldsymbol{y},t-c\|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\|)\) \(+c^2\ddot\varphi(\boldsymbol{y},t-c\|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\|)\), che è ben diverso dal numeratore dell'integrando...
Secondo me troverai la soluzione a tutte queste domande studiando un po' di teoria sulle "soluzioni fondamentali". Il giusto ambito è quello delle *distribuzioni*; come stai procedendo tu, ti invischi in queste questioni sottili e faticose e non si capisce niente.
Una risorsa molto interessante sono le dispense di Klainerman "Introduction to Analysis", si trovano online. Ma attenzione, sono scritte in modo informale, non credo siano ciò che tu cerchi. Altrimenti consulta il libro "Basic linear PDEs" di Treves, oppure il primo volume di "Partial differential equations" di Taylor. In ogni caso la parola chiave è "fundamental solution".
Una risorsa molto interessante sono le dispense di Klainerman "Introduction to Analysis", si trovano online. Ma attenzione, sono scritte in modo informale, non credo siano ciò che tu cerchi. Altrimenti consulta il libro "Basic linear PDEs" di Treves, oppure il primo volume di "Partial differential equations" di Taylor. In ogni caso la parola chiave è "fundamental solution".
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