Integrale (che pensavo fosse) semplice se risolto in modo furbo

[Lo_zio_Tom]

ciao a tutti! sono riuscito a trasformare il seguente integrale

$ int_()^() 1/(x^4+1) dx $

così:

$ 1/2 int_()^() (x^2+1-x^2+1)/(x^4+1) dx = 1/2 int_()^() ((x^2+1)/x^2-(x^2-1)/x^2)/((x^4+1)/x^2) dx $

$ 1/2 int_()^() ((1+1/x^2)-(1-1/x^2))/((x^2+1/x^2)) dx $


$ 1/2 int_()^() ((1+1/x^2))/((x^2+1/x^2)) dx -1/2 int_()^() ((1-1/x^2))/((x^2+1/x^2)) dx $

ora pongo:
$ y=x+1/x rArr y^2=x^2+2+1/x^2rArr x^2+1/x^2=y^2-2rArr dy=1-1/x^2 $

$ z=x-1/x rArr z^2=x^2-2+1/x^2rArr x^2+1/x^2=z^2+2rArr dz=1+1/x^2 $


ora sostituisco e ottengo:

$ 1/2int_()^() 1/(z^2+2) dz -1/2int_()^() 1/(y^2-2) dy $

[Light_1]

Hai provato a svolgerlo poi ?

Ti torna ?

[Lo_zio_Tom]

dopo è quasi immediato! il primo integrale è un'arcotangente (basta eliminare il 2)....il secondo con i fratti semplici

[Light_1]

Considera deve venire una cosa del genere

$int_()^() 1/(x^4+1) dx=$

$ 1/(4sqrt2)(-log(x^2-sqrt2x+1)+log(x^2+sqrt2x +1)-2tan^-1(1-sqrt2x)+2tan^(-1)(sqrt2x+1) $

[Lo_zio_Tom]

il primo integrale è:

$ 1/2int_()^() 1/(z^2+2) dz =sqrt(2)/4int_()^() 1/(1+(z/sqrt(2))^2) d(z/sqrt(2))=1/(2sqrt(2))arctan((x^2-1)/(xsqrt(2))) $

il secondo è:

$ -1/2int_()^() 1/(y^2-2) dx =-1/2int_()^() 1/((y-sqrt2)(y+sqrt(2))) dy= $

$ =-1/2[int_()^() 1/(2sqrt(2)(y-sqrt(2))) dy-int_()^() 1/(2sqrt(2)(y+sqrt(2))) dy]= $
$ =-1/2[1/(2sqrt(2))log|y-sqrt(2)|-1/(2sqrt(2))log|y+sqrt(2)|]= $

$ =-1/(4sqrt(2))log|x^2-sqrt(2)x+1|/(|x^2+sqrt(2)x+1| $

riassemblando il tutto si ottiene:
$ 1/(2sqrt(2))arctan((x^2-1)/(xsqrt(2)))-1/(4sqrt(2))log|x^2-sqrt(2)x+1|/(|x^2+sqrt(2)x+1|)+C $

[Lo_zio_Tom]

ok light...ho controllato e quadra tutto!!

soluzione presa dal risolutore automatico:

$ 1/(4sqrt(2))[-log(x^2-sqrt(2)x+1)+log(x^2+sqrt(2)x+1)-2arctan(1-sqrt(2)x)+2arctan(1+sqrt(2)x)] $ =

$= -1/(4sqrt(2))log((x^2-sqrt(2)x+1)/(x^2+sqrt(2)x+1))+1/(2sqrt(2))[arctan(1+sqrt(2)x)-arctan(1-sqrt(2)x)] =$

$= -1/(4sqrt(2))log((x^2-sqrt(2)x+1)/(x^2+sqrt(2)x+1))+1/(2sqrt(2))[arctan((sqrt(2)x)/(1-x^2))] $

essendo:
$ arctan(x)-arctan(y)=arctan((x- y)/(1+xy)) $

quindi:

$ =-1/(4sqrt(2))log((x^2-sqrt(2)x+1)/(x^2+sqrt(2)x+1))+1/(2sqrt(2))[arctan((x^2-1)/(sqrt(2)x))] +C$



essendo:
$ arctan(x)=-arctan(-x) $

e anche:

$ arctan(x)=-arctan(1/x) $

[dissonance]

Comunque, per vedere se un integrale è corretto, basta derivare il risultato. Se si ritrova la funzione integranda, il risultato è corretto. Altrimenti non è corretto. Questa è una cosa che - ho potuto constatare - gli esperti fanno sempre, in automatico.

Se i calcoli sono complicati li si può far fare tranquillamente al software: per loro, calcolare una derivata anche molto ingombrante è questione di un attimo. Oggi i software calcolano anche delle primitive. Però questa NON è una operazione meccanica, ed è meglio diffidare di una primitiva calcolata da un software.

[ot]Proprio l'altro giorno ho perso tutta una giornata, perché Maple commetteva un errore sistematico nel calcolo di certi integrali trigonometrici. Io mi fidavo ciecamente dei risultati del software e non riuscivo assolutamente a capire perché i miei conti non tornassero. Verso sera, completamente esasperato, ho deciso di calcolare gli integrali a mano e mi sono accorto dell'inghippo. Dopo aver respinto la reazione istintiva (buttare il computer dalla finestra) mi sono calmato e sono riuscito a capire cosa causava l'errore del software.

Ora sto continuando a fare i miei calcoli con Maple, ma facendo attenzione a evitare di fare di nuovo lo stesso errore. A questo scopo una strategia è proprio quella di fare delle verifiche sistematiche del tipo di quella che propongo in questo post. Ecco perché insisto tanto nel dare questi consigli. Il software matematico può essere di grande aiuto, ma bisogna saperlo usare: mai spegnere il cervello nel lasciare fare a lui - come stavo facendo io.

Spero che questa storiella interessi a qualcuno[/ot]

[Lo_zio_Tom]

"dissonance":Comunque, per vedere se un integrale è corretto, basta derivare il risultato. [omissis]

hai ragione dissonance! allora prendiamo carte e penna ... e deriviamo

$ 1/(2sqrt(2))arctan((x^2-1)/(xsqrt(2)))-1/(4sqrt(2))log|x^2-sqrt(2)x+1|/(|x^2+sqrt(2)x+1|)= F1 +F2 $

$ D1=d/dxF1=1/(2sqrt(2))1/(1+(x^2-1)^2/(2x^2))(2sqrt(2)x^2-sqrt(2)(x^2-1))/(2x^2)= $

$ =(sqrt(2)(x^2+1))/(2sqrt(2)(x^4+1))=1/2(x^2+1)/(x^4+1) $



$ D2=d/dxF2=-1/(4sqrt(2))((2x-sqrt(2))(x^2+sqrt(2)x+1)-(x^2-sqrt(2)x+1)(2x+sqrt(2)))/(x^2+sqrt(2)x+1)^2(x
^2+sqrt(2)+1)/(x^2-sqrt(2)x+1) =...=$

$= -1/(4sqrt(2))(2sqrt(2)x^2-2sqrt(2))/(x^4+1)=-(x^2-1)/(2(x^4+1) $

ora ricomponiamo il tutto e otteniamo:

$ D1+D2=1/2(x^2+1)/(x^4+1)-(x^2-1)/(2(x^4+1))=(x^2+1-x^2+1)/(2(x^4+1))=1/(x^4+1) $