Integrale che non vuole tornare
Ciao a tutti! ho postato prima una domanda alla quale ho avuto risposta, tuttavia, non mi torna questo integrale:
[tex]\int_{-2\pi}^{2\pi} \frac{-2dt}{3+cos2t+2sin2t}= -4\pi[/tex]
A me torna 0.
Io ho effettuato le sostituzioni parametriche di seno e coseno, (dopo un cambio di variabile (2t=u)) e viene fuori un integrale di una frazione del tipo
[tex]\frac{-1}{s^2+2s+2}[/tex]
che ha discriminante <0 e dunque il risultato è noto dalle mie tavole degli integrali. Tuttavia continua a farmi 0..... Invece deve tornare [tex]-4\pi[/tex]
chi mi aiuta sono disperata? grazie e scusate il disturbo....
[tex]\int_{-2\pi}^{2\pi} \frac{-2dt}{3+cos2t+2sin2t}= -4\pi[/tex]
A me torna 0.
Io ho effettuato le sostituzioni parametriche di seno e coseno, (dopo un cambio di variabile (2t=u)) e viene fuori un integrale di una frazione del tipo
[tex]\frac{-1}{s^2+2s+2}[/tex]
che ha discriminante <0 e dunque il risultato è noto dalle mie tavole degli integrali. Tuttavia continua a farmi 0..... Invece deve tornare [tex]-4\pi[/tex]
chi mi aiuta sono disperata? grazie e scusate il disturbo....
Risposte
Probabilmente il problema è la sostituzione che fai: infatti essa è valida limitatamente a \(x\in ]-\pi,\pi[\). Quindi, prima di usarla, devi necessariamente "spezzettare" l'integrale in parti in cui sia possibile applicare la sostutizione.
Conseguentemente ti conviene spezzettare:
\[
\int_{-2\pi}^{2\pi} = \int_{-2\pi}^{-\pi} + \int_{-\pi}^\pi + \int_\pi^{2\pi}
\]
e, vista la periodicità:
\[
\int_{-2\pi}^{-\pi} = \int_{2\pi}^{3\pi}\; ,
\]
sicché:
\[
\int_{-2\pi}^{2\pi} = \int_{2\pi}^{3\pi} + \int_{-\pi}^\pi + \int_\pi^{2\pi} = \int_{-\pi}^\pi + \int_\pi^{3\pi} = 2\ \int_{-\pi}^\pi\; ,
\]
ed all'ultimo integrale applichi la sostituzione.
Tuttavia, in casi come questi conviene fare la sostituzione \(t=\tan x\): infatti ambedue le funzioni \(\cos 2x\) e \(\sin 2x\) nascondono solamente termini quadratici in seno e coseno (i.e., robe del tipo \(cos^2 x\), \(\sin^2 x\) e \(\sin x\cos x\)).
P.S.: L'integrale viene \(2\pi\), non \(-4\pi\) come segnalato.
Conseguentemente ti conviene spezzettare:
\[
\int_{-2\pi}^{2\pi} = \int_{-2\pi}^{-\pi} + \int_{-\pi}^\pi + \int_\pi^{2\pi}
\]
e, vista la periodicità:
\[
\int_{-2\pi}^{-\pi} = \int_{2\pi}^{3\pi}\; ,
\]
sicché:
\[
\int_{-2\pi}^{2\pi} = \int_{2\pi}^{3\pi} + \int_{-\pi}^\pi + \int_\pi^{2\pi} = \int_{-\pi}^\pi + \int_\pi^{3\pi} = 2\ \int_{-\pi}^\pi\; ,
\]
ed all'ultimo integrale applichi la sostituzione.
Tuttavia, in casi come questi conviene fare la sostituzione \(t=\tan x\): infatti ambedue le funzioni \(\cos 2x\) e \(\sin 2x\) nascondono solamente termini quadratici in seno e coseno (i.e., robe del tipo \(cos^2 x\), \(\sin^2 x\) e \(\sin x\cos x\)).
P.S.: L'integrale viene \(2\pi\), non \(-4\pi\) come segnalato.

Grazie infinite.....proverò a farlo come dici tu! grazie mi hai salvato!
P.P.S.: Non avevo visto il \(-2\) dentro l'integrale... Quindi il risultato che hai scritto sopra, cioé \(-4\pi\), è giusto.