Integrale che non finisce!

[Ziko1]

Ciao, stavo facendo un esercizio del libro ed ho trovato questo semplice (non per me) esercizio:

$int x/(cosx)^2 dx$

E' da risolvere per parti, io inizio e mi accorgo e poi occorre riutilizzare il metodo per parti sul risultato... solo che continua a tornarmi la solita funzione che si ripete come esco da questa cosa?

Grazie in anticipo come sempre!

[fireball1]

$int x/(cos^2x) dx = xtanx - int tanx dx = ...

[Ziko1]

Ok, arrivato li continuo sempre con l'integrazione per parti:

$int x/(cos^2x) dx = xtanx - int tanx dx = xtanx-(xtanx- int x/cos^2x) dx= int x/(cos^2x) dx$

In questo modo sono tornato al punto di partenza.

[fireball1]

Beh, ora devi calcolare l'integrale di $tanx$...
Se procedi di nuovo per parti è ovvio che diventi
una cosa infinita... $int tanx dx = int (sinx)/cosx dx = - int (-sinx)/cosx dx = - int (dcosx)/(cosx)=...

[Nidhogg]

"Ziko":Ok, arrivato li continuo sempre con l'integrazione per parti:

$int x/(cos^2x) dx = xtanx - int tanx dx = xtanx-(xtanx- int x/cos^2x) dx= int x/(cos^2x) dx$

In questo modo sono tornato al punto di partenza.

$int x/(cos^2x) dx = xtanx - int tanx dx$

Ora ti resta da calcolare $int tanx dx$. $tan(x)$ la puoi scrivere (per definizione!), come: $sin(x)/cos(x)$.

Quindi l'integrale $int sin(x)/cos(x) dx$, è nella forma $int (f'(x))/(f(x)) dx=ln(f(x))+k$, si ha: $int sin(x)/cos(x) dx=-ln(cos(x))+k$

L'integrale $int x/cos^2(x) dx=x*tan(x)+ln(cos(x))+k$

Saluti, Ermanno.

[Ziko1]

Aaaaaaaah ma perché sono matto? Grazie tante. Mi succede sempre così non so più che fare!

[Giova411]

Anche a me succede spesso...
Forse il problema può essere che sulle tavole non vedi che $int 1/(cos^2x) = tan x + c$ e anche che $ int tan x = ln |sec x| + c = - ln |cos x| + c$

Sul mio libro questi integrali (che penso siano noti) non ci sono e li ho scritti a mano...
Secondo me all'inizio degli esercizi bisogna guardare le tavole e fare in modo di arrivare ad un integrale noto/diretto.
O no?

Chiedo gentilmente agli esperti di scrivere quali potrebbero essere i "trucchetti" per progettare inizialmente il percorso dell'integrazione... Come fate????!?!??!?!???

[_luca.barletta]

personalmente uso questo schema:
a. cerco di riconoscere un integrale immediato/notevole altrimenti
b. due conticini a mente se "per parti" può migliorare la situazione altrimenti
c. sostituzione

b. e c. si possono scambiare, dipende dal tipo di integrale che hai davanti. (tralasciando dopo il punto c. altri metodi di integrazione)

Poi, logicamente, bisogna farsi un po' d'esperienza e la memoria gioca a nostro vantaggio