Integrale che dà problemi

[Sk_Anonymous]

Salve a tutti oggi mi sono imbattuto in questo integrale $\int_ $cos(x)/((1+sen^2(x))$dx$ io sono partito con una sostituzione che sembrava come dire obbigoraria cioè $sen(x)=$t questo mi porta allora forma $\int_$(1)/$(1+t^2)^2$dt direi però peggio di prima perchè questo con le frazioni parziali non riesco a farlo anzi peggiora,quindi boh sono bloccato,forse è sbagliata la sostituzione iniziale?

[Obidream]

Se l'integrale è questo:$\int cos(x)/(1+sin^2(x))dx$, ponendo $t=sin(x)$ non si dovrebbe ottenere:
$\int 1/(1+t^2)dt$?

[Sk_Anonymous]

si scusa ho scritto male il denominatore(1+sen^2(x) è al quadrato..

[theras]

Ciao!
Perchè non cerchi ispirazione quì?
Saluti dal web.

[Obidream]

Per risolvere $\int 1/(1+x^2)^2dx$ si può anche operare provare la sostituzione $x=tan(t)$ ottenendo $dx=1/(cos^2(t))dt$

ovvero $dx=(1+tan^2(t))dt$:

$\int 1/(1+tan^2(t))dt$

Dalla trigonometria sappiamo che $cos(\alpha)=+- 1/sqrt(1+tan^2(\alpha))$

Quindi il nostro integrale sarà uguale a:

$\int cos^2(t) dt$

Si può risolvere in tanti modi ma io preferisco per parti:

$\int cos(t)*cos(t)dt=cos(t)sin(t)+\int (1-cos^2(t)dt$

$\int cos^2(t)dt= 1/2cos(t)sen(t)+t/2+c$

ma $t=arctan(x)$ ed inoltre $1/2cos(t)sin(t)$ si può vedere come $(1/2)(tan(t))/(1+ (tan(t))^2)$

(L'ultima uguaglianza si ricava da $cos(\alpha)=+- 1/sqrt(1+tan^2(\alpha))$ e $sin(\alpha)=+- tan(\alpha)/sqrt(1+tan^2(\alpha))$)

Quindi la nostra primitiva diventa:

$arctan(x)/2 + (1/2)x/(1+x^2) +c$

[Sk_Anonymous]

grazie ad entrambi,bel metodo di risoluzione obidream.. mi chiedevo se magari ne esistesse uno più rapido e semplice,ma cpmunque ho guardato il capitolo suggerito da theras e basta praticamente applicare una formula,grazie comunque