Integrale (campo magnetico di un lungo filo rettilineo)

[Jack871]

Ciao!

Sono alle prese con il calcolo del campo magnetico prodotto da un lungo filo rettilineo percorso da corrente.



Non riesco a capire i passaggi che portano alla soluzione dell'integrale (ecco perché ho postato qui anziché nella sezione di fisica):

$B = int_(-infty)^(+infty) mu_0 / {4pi} {IR} / (x^2 + R^2)^{3/2} dx = {mu_0IR} / {4pi} [x / {R^2(x^2+R^2)^{1/2}}]_(-infty)^(+infty) = {mu_0I} / {2piR}$

Il testo suggerisce di ricorrere alla sostituzione $x = R * cot (pi - Theta)$, ma provando mi blocco in questa situazione:

${mu_0I} / {4pi} int_{-infty}^{+infty} (R^2 cot^2(pi-Theta) + R^2)^{-3/2}({-R^2}/{sin^2 Theta})dTheta$

Grazie!

[Jack871]

grazie mille per la risposta! penso di aver capito, ma vorrei approfittare della tua gentilezza per chiarire qualche dubbio.

1) la tua sostituzione è ben studiata ma arbitraria, giusto? all'inizio non capivo perché dal grafico risulta essere $x = - R / tan Theta$.

dopo aver compreso la tua soluzione, ho provato a risolvere l'integrale con la sostituzione suggerita dal testo, cioè $x = R \ cot (pi - Theta)$, ottenendo il seguente risultato:

$B = int mu_o / {4pi} {IR} / (x^2+R^2)^{3/2}dx = int mu_o / {4pi} {IR} / (R^2 cot^2(pi-Theta)+R^2)^{3/2}{-R}/{sin^2 Theta}dTheta$

$= -{mu_oIR^2}/{4pi} int 1/{R^3(cot^2 Theta+1)^{3/2}} 1/{sin^2 Theta} \ dTheta$

$= -{mu_oI}/{4piR} int (cot^2 Theta+1)^{-3/2} \ sin^{-2} Theta \ dTheta$

$= -{mu_oI}/{4piR} int sin^3 Theta \ sin^{-2} Theta \ dTheta = -{mu_oI}/{4piR} int sin Theta \ dTheta$

$= {mu_oI}/{4piR} [cos Theta]$

ora potrei fermarmi qui e integrare l'espressione nell'intervallo $Theta in [0,pi]$, ma così facendo non ottengo il risultato sperato:

$= {mu_oI}/{4piR} [cos Theta]_0^pi = {mu_oI}/{4piR} (cos pi - cos 0) = - {mu_oI}/{2piR}$

2) come mai?

altrimenti potrei invertire la sostituzione $Theta = -arctan(R/x)$:

$= {mu_oI}/{4piR} [cos (-arctan(R/x))]_{-infty}^{+infty} = {mu_oI}/{4piR} [1/(R^2/x^2+1)^{1/2}]_{-infty}^{+infty}$

3) se ora calcolo il limite sarei tentato di rispondere che il risultato è $0$, perché non è così?

se invece riordino l'espressione trovo esattamente il risultato del testo:

$= {mu_oI}/{4piR} [x/(R^2+x^2)^{1/2}]_{-infty}^{+infty} to {mu_oI}/{2piR}$