Integrale calcolato in un volume
Rieccomi 
Ho risolto questo integrale e non mi è sembrato particolarmente difficile, ma di solito quando è così capita che ho trascurato qualcosa e quindi sbaglio
$int int int_V(xy^2)/(sqrt(y^2+4z^2)) dxdydz$ con $V={(y^2+4z^2<=4),(x>=0),(x^2+y^2+z^2<=9):}$
Che esiste un tutto $\RR^3$ tranne che nei punti $(x,0,0)$
Dato che la prima rappresenta l'interno di un'ellisse sul piano yz e la terza l'interno di una sfera, il grafico di V dovrebbe essere così:
Quel volume è come un cilindro con base ellittica, parte dal piano yz e si allunga sulle x fino ad incontrare la sfera (quindi l'altra base non è piatta):
Ho pensato quindi di riscrivere le coordinate in questo modo:
${(x=x),(y=2*\rho*cos\theta),(z=\rho*sen\theta):}$
con i seguenti intervalli:
${(0<=x<=sqrt(9-\rho^2*(cos^2\theta+1))),(0<=\theta<2pi),(0<=\rho<=1):}$
Ho fatto giusto?
Ho risolto questo integrale e non mi è sembrato particolarmente difficile, ma di solito quando è così capita che ho trascurato qualcosa e quindi sbaglio
$int int int_V(xy^2)/(sqrt(y^2+4z^2)) dxdydz$ con $V={(y^2+4z^2<=4),(x>=0),(x^2+y^2+z^2<=9):}$
Che esiste un tutto $\RR^3$ tranne che nei punti $(x,0,0)$
Dato che la prima rappresenta l'interno di un'ellisse sul piano yz e la terza l'interno di una sfera, il grafico di V dovrebbe essere così:
Quel volume è come un cilindro con base ellittica, parte dal piano yz e si allunga sulle x fino ad incontrare la sfera (quindi l'altra base non è piatta):
Ho pensato quindi di riscrivere le coordinate in questo modo:
${(x=x),(y=2*\rho*cos\theta),(z=\rho*sen\theta):}$
con i seguenti intervalli:
${(0<=x<=sqrt(9-\rho^2*(cos^2\theta+1))),(0<=\theta<2pi),(0<=\rho<=1):}$
Ho fatto giusto?
Risposte
Lo riporto in vista <.<
$0<=x<=sqrt(9-\rho^2*(3cos^2\theta+1))$
Hai ragione, grazie 
Chissà perchè mi veniva $cos^2\theta+1$
Ma il ragionamento per la parametrizzazione di quel volume pensi sia giusto?
Chissà perchè mi veniva $cos^2\theta+1$Ma il ragionamento per la parametrizzazione di quel volume pensi sia giusto?
Sì credo che come parametrizzazione possa funzionare
Scrivo qua lo svoglimento dell'integrale così se cè qualcuno che ha pazienza di seguirlo mi aiuta a veder se ho sbagliato qualcosa XD
Lo Jacobiano è $2\rho$; date le coordinate infatti me lo sono ricavato così:
$J = det|(1,0,0),(0,2cos\theta,sen\theta),(0,-2\rhosen\theta,\rhocos\theta)| = 2\rho$
Questo è l'integrale che mi ritrovo facendo le varie sostituzioni:
$int_0^{2\pi} d\theta int_0^1 d\rho int_0^{sqrt(9-\rho^2*(3cos^2(\theta+1)))} (x *4\rho^2cos^2\theta)/(sqrt(4\rho^2cos^2\theta+4\rho^2sen^2\theta)) *2\rho*dx$
Risistemandola un pò e tralasciando gli estremi di integrazione ho:
$4*int cos^2\theta d\theta int \rho^2 d\rho int x dx$ ed ho $[x^2/2]_0^{sqrt(9-\rho^2*(3cos^2(\theta+1)))}$
$2*int cos^2\theta d\theta int \rho^2 (9-\rho^2(3cos^2\theta+1)) d\rho$
$2*int cos^2\theta d\theta int 9\rho^2 -\rho^4(3cos^2\theta+1) d\rho$ con $[\rho^3/3]_0^1$ e $[\rho^5/5]_0^1$
$2*int cos^2\theta * [9/3 - 1/5(3cos^2\theta+1)] d\theta$
$2*int 3cos^2\theta-3/5 cos^4\theta - 1/5 cos^2\theta d\theta$
$2*int 14/5cos^2\theta - 3/5cos^4\theta d\theta$
Sapendo che $int_0^{2\pi}cos^2\theta d\theta = \pi$ (come dice sempre il professore xD) e che $int_0^{2\pi}cos^4\theta d\theta =3/4\pi$
mi ritrovo con:
$28/5\pi-6/5*3/4\pi = 47/10\pi$
Parentesi: per fare $int_0^{2\pi}cos^4\theta d\theta$ ho usato le formule di duplicazione degli angoli:
$cos^4\theta = (cos^2\theta)^2 = ((1+cos2\theta)/2)^2$
$(1+2cos2\theta+cos^2 2\theta)/4$ qui ho riusato la stessa formula $cos^2 2\theta = (1+cos4\theta)/2$
e mi son trovato con
$int_0^{2\pi}3/8+1/2 cos2\theta + 1/8 cos4\theta*d\theta$
Oltre al fatto di saperlo a memoria, c'era qualche modo un pò più veloce di far questo integrale in $\theta$?
Dato questo integrale
$int int int_V(xy^2)/(sqrt(y^2+4z^2)) dxdydz$ con $V={(y^2+4z^2<=4),(x>=0),(x^2+y^2+z^2<=9):}$
parametrizzato in questo modo:
${(x=x),(y=2*\rho*cos\theta),(z=\rho*sen\theta):}$
con i seguenti intervalli:
${(0<=x<=sqrt(9-\rho^2*(3cos^2\theta+1))),(0<=\theta<2pi),(0<=\rho<=1):}$
Lo Jacobiano è $2\rho$; date le coordinate infatti me lo sono ricavato così:
$J = det|(1,0,0),(0,2cos\theta,sen\theta),(0,-2\rhosen\theta,\rhocos\theta)| = 2\rho$
Questo è l'integrale che mi ritrovo facendo le varie sostituzioni:
$int_0^{2\pi} d\theta int_0^1 d\rho int_0^{sqrt(9-\rho^2*(3cos^2(\theta+1)))} (x *4\rho^2cos^2\theta)/(sqrt(4\rho^2cos^2\theta+4\rho^2sen^2\theta)) *2\rho*dx$
Risistemandola un pò e tralasciando gli estremi di integrazione ho:
$4*int cos^2\theta d\theta int \rho^2 d\rho int x dx$ ed ho $[x^2/2]_0^{sqrt(9-\rho^2*(3cos^2(\theta+1)))}$
$2*int cos^2\theta d\theta int \rho^2 (9-\rho^2(3cos^2\theta+1)) d\rho$
$2*int cos^2\theta d\theta int 9\rho^2 -\rho^4(3cos^2\theta+1) d\rho$ con $[\rho^3/3]_0^1$ e $[\rho^5/5]_0^1$
$2*int cos^2\theta * [9/3 - 1/5(3cos^2\theta+1)] d\theta$
$2*int 3cos^2\theta-3/5 cos^4\theta - 1/5 cos^2\theta d\theta$
$2*int 14/5cos^2\theta - 3/5cos^4\theta d\theta$
Sapendo che $int_0^{2\pi}cos^2\theta d\theta = \pi$ (come dice sempre il professore xD) e che $int_0^{2\pi}cos^4\theta d\theta =3/4\pi$
mi ritrovo con:
$28/5\pi-6/5*3/4\pi = 47/10\pi$
Parentesi: per fare $int_0^{2\pi}cos^4\theta d\theta$ ho usato le formule di duplicazione degli angoli:
$cos^4\theta = (cos^2\theta)^2 = ((1+cos2\theta)/2)^2$
$(1+2cos2\theta+cos^2 2\theta)/4$ qui ho riusato la stessa formula $cos^2 2\theta = (1+cos4\theta)/2$
e mi son trovato con
$int_0^{2\pi}3/8+1/2 cos2\theta + 1/8 cos4\theta*d\theta$
Oltre al fatto di saperlo a memoria, c'era qualche modo un pò più veloce di far questo integrale in $\theta$?
Direi che il risultato è corretto.
Un metodo più veloce per calcolare l'integrale $int_0^{2\pi}cos^4\theta d\theta$ è quello di usare la formula ricorsiva seguente:
posto $I_n(\theta)=int cos^n\theta d\theta$
si ha $I_n(\theta)= (cos^(n-1)(\theta)sin\theta)/n + (n-1)/n*I_(n-2)(\theta)$
Un metodo più veloce per calcolare l'integrale $int_0^{2\pi}cos^4\theta d\theta$ è quello di usare la formula ricorsiva seguente:
posto $I_n(\theta)=int cos^n\theta d\theta$
si ha $I_n(\theta)= (cos^(n-1)(\theta)sin\theta)/n + (n-1)/n*I_(n-2)(\theta)$
Ti ringrazio deserto. Molto gentile
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