Integrale banale che non riesco a risolvere :(

[Mikkokun]

Salve ragazzi, come da titolo avrei bisogno di un aiuto per risolvere un integrale che non credo sia complesso, anche se qualcosa mi sfugge. L'integrale è: $ int_(0)^(1) x^3*4^(x^2) dx $
Ho provato a risolvere per parti, ma ciò che trovo è: $ [(2log4)/(4)]- int_(0)^(1) x^5*4^(x^2) dx $
e continuando ancora mi aumenta sempre di 2 il grado del primo fattore nell'integrale.
Forse sto sbagliando ad applicare l'integrazione per parti, non so. Grazie mille in anticipo!

[Quinzio]

Per parti...
$\int x^3 e^(x^2) dx = \int x^2\ x e^(x^2) dx = x^2 1/2 e^(x^2) - \int xe^(x^2) dx = ...$

[Mikkokun]

Scusami, ma quella "e" da dove è uscita?

[anto_zoolander]

Sbagli la scelta dell'integrazione per parti.

Considera che $int(f'(x)*a^(f(x)))dx=a^(f(x))/ln(a)$

Adesso cerchiamo di ricondurci a qualcosa di simile.

$intx^3*4^(x^2)dx=1/2intx^2(2x*4^(x^2))dx$

Nota che adesso siamo nella forma che ci interessa, dunque integriamo per parti, considerando che dobbiamo integrare l'esponenziale e derivare il monomio.

$1/2x^2(4^(x^2)/ln(4))-1/2int2x*4^(x^2)dx$

Come puoi notare 'casualmente' è spuntato lì ciò che ci è utile...(anzi indispensabile, sennò non potremo trovare la primitiva :'))

$1/2x^2(4^(x^2)/ln(4))-1/(2ln^2(4))*4^(x^2)+c$

Adesso per renderlo più presentabile(cosa molto importante per noi ) possiamo considerare le seguenti identità

$1/ln(4)=log_4(e)$ e $4^(x^2)=2^(2x^2)$

Arrivando a..

$log_4(e)*[2^(2x^2-1)(x^2-log_4(e))]_{0}^{1}$

Spero di essere stato sufficientemente chiaro.

Sarebbe stato bellissimo trovarlo in questa forma:

$int_{-1}^{1}(x^3*4^(x^2))dx$

[Quinzio]

"Mikkokun":Scusami, ma quella "e" da dove è uscita?

Ti ho mostrato un caso piu' semplice, senza complicare il tutto con basi diverse da $e$.

[Mikkokun]

Grazie mille!
Quinzio, potevi avvertirmi stessi facendo un esempio analogo, sarebbe stato meglio!
Grazie ancora!