Integrale... banale

[feff1]

Scusatemi, sono molto arrugginito di studi di analisi...

Dovrei integrare
[tex]\int_{1}^{N} \frac{a^x}{x}\,dx[/tex]
dove
[tex]a > 1[/tex]

sono andato per parti ma fatico a arrivare a eliminare il simbolo di integrale...

grazie e scusate

[gugo82]

Ad occhio non si integra elementarmente, quindi è inutile provare.

[feff1]

uhm....

il tutto è nato per trovare un bound, riuscire a stimare in qualche modo

[tex]\sum_{k=1}^{n} \frac{a^k}{k}[/tex]

non ho speranze con la sommatoria quindi?

[gugo82]

Quella serie diverge per [tex]$a\geq 1$[/tex].

Se ti serve una maggiorazione, visto che [tex]$\tfrac{a^k}{k}

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[feff1]

Infatti, è quello che ho fatto. Cercavo un bound un po' più 'tight' ma mi accontento di questo credo

grazie!

[fransis2]

"feff":Infatti, è quello che ho fatto. Cercavo un bound un po' più 'tight' ma mi accontento di questo credo

grazie!

ora non ho tempo di fare conti precisi però voglio consigliarti una strada: definisci [tex]g(a)=\sum_{k=1}^{n} \frac{a^k}{k}[/tex] e osserva che $g'(a)=\frac{a^N-1}{a-1}$ e a questo punto puoi tentare di calcolare/stimare $g(a)$ integrando per parti (ad esempio integrando $\frac{1}{a-1}$ ma non so a cosa porta...) oppure per $a$ sufficientemente grande puoi osservare che $\frac{a}{2}

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[feff1]

Ciao, innanzitutto grazie per la risposta.

Avevo già provato a integrare quella frazione, ma per parti non arrivo da nessuna parte.
Mentre, per il secondo metodo che proponi (buono!) purtroppo non per tutti i valori di a che
considero vale la disequazione.

cmq grazie!

[fransis2]

"feff":
[...]Mentre, per il secondo metodo che proponi (buono!) purtroppo non per tutti i valori di a che
considero vale la disequazione.

cmq grazie!

beh...io avevo detto di provare $a-1>\frac{a}{2}$ come esempio però tu potresti fare nel caso più generale la seguente cosa: potresti ottenere $k*a\frac{1}{k-1}=k_0$ ma poichè $k_0$ può assumere valori arbitrariamente vicini ad 1 ma maggiori di esso allora per ogni $a$ puoi stimare $g(a)$ con l'integrale di $a^(N-1)$ ossia $\frac{a^N}{N}$ . Alla fine però saprai solo che $g(a)$ andrà al variare di $n$ come $\frac{a^N}{N}=f(a)$ nel senso che sarà compreso tra esso e $k$ volte esso dove però $k$ (se $a$ è molto vicino a 1) potrebbe essere un numero poisitivo ma molto vicino a 0. Per esempio se tu avessi che $a=1,001$ allora avresti che $g(a)$ è compreso tra $0,001*\frac{a^N}{N}$ e $\frac{a^N}{N}$ (quindi non è che conosci $g(a)$ a meno di un errore dell'1% per dire, ma ne conosci solo l'ordine di crescita). Quindi se il tuo obbiettovo è conoscere l'ordine di crescita ti basta questo altrimenti devi fare una stima più tight come dici tu...
spero di essere stato chiaro.