Integrale banale

[Pivot1]

Forse sarà anche danale, ma non mi esce!
Calcolare l'ntegrale della funzione $f(z) = z^2$ lungo C dove C = segmento che unisce l'origine a $2+i$

Io ho fatto così:

ho parametrizzato cosi

$x(t)=2-2t$
$y(t)=1-t$

ora non riesco a capire, come anche per altri esercizi di questa tipologia, come si deteriminano gli estremi di integrazione.
Io ho pensato di far variare $t$ in [0,1] ma sinceramente non so perchè!!! Cosi ottengo dopo un po di conti....

int $(-3t^2 +2t +3)*(-2-i)$ in dt da calcolarsi tra $0$ e $1$

ma alla fine non mi esce! dov è l'errore? é solo una questione di estremi?
Spero di si....

Grazie a tutti quelli che ci proveranno

[Sk_Anonymous]

Per definizione, se $X$ è un R-spazio vettoriale ed $u, v \in X$, allora il segmento di estremi u e v, orientato nel verso che procede da u in v, è l'insieme $[u,v] := {(1-t)u + tv: t \in [0,1]}$. Siccome C è isomorfo ad R^2 come spazio, hai pertanto che il segmento congiungente l'origine u = 0 con il p.to v = 2+i è l'insieme {(2+i)t: t \in [0,1]} = {x(t) + i*y(t): t \in [0,1]}, se x(t) := 2t ed y(t) := t, per t \in [0,1]. Adesso son solo conti...

[Pivot1]

cioè come hai fatto per trovare la retta passante per i due punti. Non va bene parametrizzare con questa formila:

$x(t) = x_0 + t(x_1 - x_0)$
$y(t) = y_0 + t(y_1 - y_0)$

[Sk_Anonymous]

Non mi è servito trovarla, pivot... Ho usato semplicemente una *definizione*.

[Pivot1]

Allora non ho ben capito. Supponiano che della stessa funione voglio trovare la retta passente per
1+i e 2+i

Come mi comporto? Io non conoscevo quella definizione....

[Sk_Anonymous]

Il segmento di C che congiunge il punto u = 1+i al punto v = 2+i, nel verso che procede da u in v, è l'insieme {(2+i)t + (1+i)(1-t): t \in [0,1]} = {(t+1) + i: t \in [0,1]}, il che è perfettamente in linea con la nozione "intuitiva" di segmento mutuata dalla geometria euclidea.