Integrale apparentemente per parti
Buongiorno a tutti,
ieri ho provato più volte a risolvere un integrale che, come da titolo, sembrerebbe risolvibile per parti.
L'integrale è $int x/(x-3)^2dx$ che ho riscritto come $int x * (x-3)^-2dx$ a questo punto ho applicato l'integrazione per parti in questo modo, $int x * d(1/(3-x)) = x/(3-x) -int 1/(3-x) dx$. L'impostazione a me sembra corretta ma il risultato finale non lo è.
Dov'è l'errore? Può essere risolto solo usando i fratti?
Grazie
ieri ho provato più volte a risolvere un integrale che, come da titolo, sembrerebbe risolvibile per parti.
L'integrale è $int x/(x-3)^2dx$ che ho riscritto come $int x * (x-3)^-2dx$ a questo punto ho applicato l'integrazione per parti in questo modo, $int x * d(1/(3-x)) = x/(3-x) -int 1/(3-x) dx$. L'impostazione a me sembra corretta ma il risultato finale non lo è.
Dov'è l'errore? Può essere risolto solo usando i fratti?
Grazie
Risposte
Beh ci sono due modi: per parti o aggiungendo e sottraendo $3$ al numeratore (=frazionalizzazione)
$\int \frac{x-3+3}{(x-3)^2}dx=\int \frac{1}{x-3}dx+\int \frac{3}{(x-3)^2}dx=\ln|x-3|+\frac{3}{3-x}+k=\ln|x-3|+\frac{3}{3-x}-1+(k+1)=\ln|x-3|+\frac{x}{3-x}+(k+1)$
In realtà le due primitive $\ln|x-3|+\frac{3}{3-x}$ e $\ln|x-3|+\frac{x}{3-x}$ sono diverse a meno di una costante.
$\int \frac{x-3+3}{(x-3)^2}dx=\int \frac{1}{x-3}dx+\int \frac{3}{(x-3)^2}dx=\ln|x-3|+\frac{3}{3-x}+k=\ln|x-3|+\frac{3}{3-x}-1+(k+1)=\ln|x-3|+\frac{x}{3-x}+(k+1)$
In realtà le due primitive $\ln|x-3|+\frac{3}{3-x}$ e $\ln|x-3|+\frac{x}{3-x}$ sono diverse a meno di una costante.
quindi è corretto anche il secondo risultato?
Sì, il tuo dubbio nasce da un interpretazione sbagliata di integrale indefinito, quando lo calcoli non trovi una funzione ma una classe di funzioni uguali a meno di una costante additiva.
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