Integrale ANALISI II

[ramco88]

$\int(x^4ln(1+x^2))/(1+x^2)dx$

ragazzi vi prego aiutatemi.
non so dove sbattere la testa. avevo una mezza idea di provare per sostituzione ma ho provato veramente di tutto e giungo solo a vicoli ciechi!
grazie anticipatamente ragazzi!

[Rigel1]

Non sembra risolvibile in termini di funzioni elementari:
http://j.mp/dhdm5z

[Raptorista1]

Come primo passaggio mi verrebbe da riscriverlo come $\int (3x^2 * ln(x^2+1)*1/(x^2+1)*2x) dx$ che si integra una volta per parti, ma poi non so come andare avanti..

[ramco88]

allora ragazzi innanzitutto grazie delle vostre risposte.
in secondo luogo siccome mi sembra un pò strano che anche per voi non sia così semplice la risoluzione ho deciso di metterlo per intero l'integrale magari ho sbagliato i passaggi precedenti.
calcolare il seguente integrale doppio
$\int\int_D(x^3ln(1+x^2+y^2))/(1+x^2+y^2)dxdy$
dove D è la parte di corona circolare di raggio 1 e 2 compresa nel primo quadrante e delimitata dalle rette di equazione $y=(sqrt(3))/3x$ ; $y=sqrt(3)x$
naturalmente io ho usato le coordinate polari
$x=\rhocos\theta$
$y=\rhosen\theta$
facendo variare $\rho$ tra 1 e 2 e $\theta$ tra $(\pi)/6$ e $(\pi)/3$ trovato dalle intersezioni tra la corona circolare e le rette.
magari ho sbagliato qualcosa.

[stefano_89]

"ramco88":allora ragazzi innanzitutto grazie delle vostre risposte.
in secondo luogo siccome mi sembra un pò strano che anche per voi non sia così semplice la risoluzione ho deciso di metterlo per intero l'integrale magari ho sbagliato i passaggi precedenti.
calcolare il seguente integrale doppio
$\int\int_D(x^3ln(1+x^2+y^2))/(1+x^2+y^2)dxdy$
dove D è la parte di corona circolare di raggio 1 e 2 compresa nel primo quadrante e delimitata dalle rette di equazione $y=(sqrt(3))/3x$ ; $y=sqrt(3)x$
naturalmente io ho usato le coordinate polari
$x=\rhocos\theta$
$y=\rhosen\theta$
facendo variare $\rho$ tra 1 e 2 e $\theta$ tra $(\pi)/6$ e $(\pi)/3$ trovato dalle intersezioni tra la corona circolare e le rette.
magari ho sbagliato qualcosa.

Si, è calcoli che hai fatto sono corretti, ora ti basta sostituire le coordinate nell' integrale..

[ramco88]

ok, quindi le coordinate polari sono giuste ma l'integrale che ottengo (riportato nel primo msg) come posso risolverlo? è una cosa impossibile.
spero che qualcuno mi sia d'aiuto!

[stefano_89]

"ramco88":ok, quindi le coordinate polari sono giuste ma l'integrale che ottengo (riportato nel primo msg) come posso risolverlo? è una cosa impossibile.
spero che qualcuno mi sia d'aiuto!

scusa ma cosa c'entra il primo integrale con quello risolto successivamente ? hanno una forma "simile" e basta..

[AlexlovesUSA]

Per quanto riguarda il primo integrale io proverei con la sostituzione e ovvero $t=1+x^2$ quindi verrebbe $x=sqrt(t-1)$ e quindi sostituendo $int((sqrt(t-1))^4ln(t))/t$ ma manca $dx$ che sarebbe $1/(2sqrt(t-1))dt$ e quindi in totale $int((sqrt(t-1))^4ln(t))/t(1/(2sqrt(t-1)))dt$ A questo punto semplifichiamo le radici al num e al den e otteniamo $int ((sqrt(t-1))^3lnt)/(2t)dt$ molto + semplice. Portiamo fuori $1/2$. A questo punto io proverei con l'integrazione per parti erò un pezzo alla volta. Per esempio prima portando dentro il differenziale $1/t$ e integrando il logaritmo e poi lavorare coon il resto ma non saprei. Eppure gli unici metodi sono sostituzione, parti e poi ricondursi o a funzioni note o a razionali ma quì non saprei.

[ramco88]

"stefano_89":[quote="ramco88"]ok, quindi le coordinate polari sono giuste ma l'integrale che ottengo (riportato nel primo msg) come posso risolverlo? è una cosa impossibile.
spero che qualcuno mi sia d'aiuto!

scusa ma cosa c'entra il primo integrale con quello risolto successivamente ? hanno una forma "simile" e basta..[/quote]


non hanno una forma simile e basta, sostituendo le coordinate polari e moltiplicando per lo jacobiamo in quello che ho postato dopo si ottiene il primo.
ho postato anche l'originale solo per vedere casomai avevo sbagliato sostituzione...

[ramco88]

ringrazio AlexlovesUSA per lo sforzo ma anche quella era una strada che avevo tentato ma senza risultati....il problema viene prorpio dopo!