Integrale Analisi I

[Mikbro]

Ragazzi potreste aiutarmi nello svolgimento di questo integrale ?
\int (((x-1)^2)/(x^2 + 3x +4)) dx

[Berationalgetreal]

\[ \int \frac{ (x-1)^2}{x^2 + 3x + 4 } \; \text{d} x \]

Basta notare che:

\[ \begin{aligned} \frac{ (x-1)^2}{x^2 +3x + 4} &= \frac{ x^2 - 2x + 1}{x^2 + 3x + 4} \\ &= 1 - \frac{ 5x +3}{x^2 + 3x + 4} \\ &= 1 - \frac{5}{2} \frac{ 2x +3}{x^2 + 3x +4} + \frac{9}{2} \frac{ 1}{x^2 + 3x + 4} \\ &= 1 - \frac{5}{2} \frac{ 2x + 3}{x^2 + 3x + 4} + \frac{9}{2} \frac{1}{\left ( x + \frac{ 3}{2} \right )^2 + 4 - \frac{9}{4}} \\ &= 1 - \frac{5}{2} \frac{ 2x + 3}{x^2 + 3x + 4} + \frac{18}{ 7} \frac{1}{\left ( \frac{2x + 3 }{\sqrt{7}} \right )^2 + 1} \end{aligned}\]

[Mikbro]

"Berationalgetreal":\[ \int \frac{ (x-1)^2}{x^2 + 3x + 4 } \; \text{d} x \]

Basta notare che:

\[ \begin{aligned} \frac{ (x-1)^2}{x^2 +3x + 4} &= \frac{ x^2 - 2x + 1}{x^2 + 3x + 4} \\ &= 1 - \frac{ 5x +3}{x^2 + 3x + 4} \\ &= 1 - \frac{5}{2} \frac{ 2x +3}{x^2 + 3x +4} + \frac{9}{2} \frac{ 1}{x^2 + 3x + 4} \\ &= 1 - \frac{5}{2} \frac{ 2x + 3}{x^2 + 3x + 4} + \frac{9}{2} \frac{1}{\left ( x + \frac{ 3}{2} \right )^2 + 4 - \frac{9}{4}} \\ &= 1 - \frac{5}{2} \frac{ 2x + 3}{x^2 + 3x + 4} + \frac{18}{ 7} \frac{1}{\left ( \frac{2x + 3 }{\sqrt{7}} \right )^2 + 1} \end{aligned}\]

non riesco a capire quali regole degli integrali siano state applicate. Con la prima parte mi trovo,però già dall'aggiunta dei 5/2 e 9/2 non capisco. Potresti essere più esplicito?