Integrale (analisi complessa)
Lo so...deve essere una sciocchezza...
In un esempio della mia dispensa bisogna risolvere $int 1/(1+z^2)dz$ con cammino una semi circonferenza di raggio r.
A questo punto il prof. scrive:
$|int 1/(1+z^2)dz|<= pi*r*1/(r^2-1)$
Mi sapete spiegare il passaggio?
Grazie
In un esempio della mia dispensa bisogna risolvere $int 1/(1+z^2)dz$ con cammino una semi circonferenza di raggio r.
A questo punto il prof. scrive:
$|int 1/(1+z^2)dz|<= pi*r*1/(r^2-1)$
Mi sapete spiegare il passaggio?
Grazie
Risposte
Prova a parametrizzare la semicirconferenza con $re^(i\alpha)$, per $alpha$ in un certo intervallo.
Ci ho provato...ma evidentemente mi sono perso nel calcolo...
credo che dovresti specificare bene la semicirconferenza (chiamiamola $gamma$) lungo cui integrare...
cmq ricorda che se $gamma$ è una curva regolare e $f(z)$ è continua su $gamma$ risulta
$|int_gamma f(z)dz| <= int_gamma |f(z)|ds <= ML$ dove $L$ è la lunghezza di $gamma$ e $M$ è il valore massimo assunto da $|f(z)|$ su $gamma$
credo che per dimostrare quel risultato il tuo professore abbia usato questa disuguaglianza... ora siccome $pi*r$ è la lunghezza della semicirconferenza, magari $1/(r^2-1)$ può essere il valore massimo di $f(z)$ lungo $gamma$ ecco perché dico che bisogna specificare quale sia $gamma$
cmq ricorda che se $gamma$ è una curva regolare e $f(z)$ è continua su $gamma$ risulta
$|int_gamma f(z)dz| <= int_gamma |f(z)|ds <= ML$ dove $L$ è la lunghezza di $gamma$ e $M$ è il valore massimo assunto da $|f(z)|$ su $gamma$
credo che per dimostrare quel risultato il tuo professore abbia usato questa disuguaglianza... ora siccome $pi*r$ è la lunghezza della semicirconferenza, magari $1/(r^2-1)$ può essere il valore massimo di $f(z)$ lungo $gamma$ ecco perché dico che bisogna specificare quale sia $gamma$
Alla la semicirconferenza $gamma$ ha centro nell'origine e raggio r tale che la singolarità i si trovi all'interno del cammino...come procedo al calcolo di questo massimo?
Grazie
Grazie
Il massimo della funzione $|f(z)|$ sulla semicirconferenza $\gamma$ è il minimo di $|1+z^2|$ su $\gamma$; ma su $\gamma$ si ha $|1+z^2|=sqrt((r^2-1)^2+4x^2)$, essendo $z=x+iy$; per cui il minimo è assunto per $x=0$, ed il valore minimo è $r^2-1$; si conclude come già detto sopra.
Per Luca Lussardi:
So che è una curiosità assurda, ma quello nella tua pic è Giulio Giorello ?
O De Giorgi?
So che è una curiosità assurda, ma quello nella tua pic è Giulio Giorello ?
O De Giorgi?
E' Ennio DeGiorgi, che è stato con ogni probabilità il massimo analista italiano mai vissuto.
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