Integrale Analisi 2
Sia la porzione di super cie di equazione $z = 16 - x^2 - y^2$ che giace sopra il piano
$z = 0$, con versore normale n che forma un angolo ottuso con l'asse z. Sia
$F(x,y,z) = (y, -4yz, 4(e^z - 1)^2)$
Calcolare l'integrale
$ int_(Sigma)rot(F)*n dsigma $
Non so proprio come partire, potete aiutarmi perfavore?
$z = 0$, con versore normale n che forma un angolo ottuso con l'asse z. Sia
$F(x,y,z) = (y, -4yz, 4(e^z - 1)^2)$
Calcolare l'integrale
$ int_(Sigma)rot(F)*n dsigma $
Non so proprio come partire, potete aiutarmi perfavore?
Risposte
Intanto comcincia scrivere il rotore di $F$ e vediamo che esce fuori 
Alternativamente, potresti usare il teorema di Stokes
Alternativamente, potresti usare il teorema di Stokes
Il rotore l'ho già calcolato ed è la quantità $ (4y,0,1) $, poi scusa se usassi Stokes in teoria cosa andrei a fare? xD Un integrale di linea sul bordo di $ Sigma $ ? Sono un pò confuso.
Ora dovresti parametrizzare la superficie, calcolarne la normale e calcolare l'integrale lì sopra. Probabilmente con Stokes viene più veloce. Stokes ti dice che il flusso del rotore attraverso una superficie (con bordo) è uguale alla circuitazione del campo lungo il bordo. Siccome in questo caso il bordo della superficie è un cerchio, credo che sia molto più semplice calcolare la circuitazione.
v. sotto
"Berationalgetreal":
Il rotore lo hai calcolato bene. Adesso, notando che deve essere \( \hat n = (0,0,1) \), poichè la superficie giace sul piano \( z= 0 \), puoi procedere con l'integrale:
\[ \int_{\Sigma} \overrightarrow \nabla \times \overrightarrow F \cdot \hat n \ \text{d} \sigma = \int_{\Sigma} (4y,0,1) \cdot (0,0,1) \ \text{d} \sigma = \int_{\Sigma} \ \text{d} \sigma \]
La superficie non giace sul piano $z=0$. E' un paraboloide ellittico (a sezione circolare). Il testo intendeva dire la porzione del paraboloide che si trova al di sopra del piano $z=0$
"Antimius":
[quote="Berationalgetreal"]Il rotore lo hai calcolato bene. Adesso, notando che deve essere \( \hat n = (0,0,1) \), poichè la superficie giace sul piano \( z= 0 \), puoi procedere con l'integrale:
\[ \int_{\Sigma} \overrightarrow \nabla \times \overrightarrow F \cdot \hat n \ \text{d} \sigma = \int_{\Sigma} (4y,0,1) \cdot (0,0,1) \ \text{d} \sigma = \int_{\Sigma} \ \text{d} \sigma \]
La superficie non giace sul piano $z=0$. E' un paraboloide ellittico (a sezione circolare). Il testo intendeva dire la porzione del paraboloide che si trova al di sopra del piano $z=0$
[/quote]Eh, infatti avevo il dubbio che fosse così. Ho aspettato un po' per postare la risposta proprio per questo. Ha anche più senso così. Adesso cancello la risposta
Grazie per le risposte, ma non ho capito bene una cosa: ma quindi il vettore (versore) normale è quello che va in direzione dell'asse z o no? Non ho capito bene come dovrei calcolarlo. 
Dagli alcuni esercizi che ho visto svolti parametrizando la superfice $Sigma$ dovrei ottenere qualcosa del tipo $ sigma(x,y)=(x,y,16-x^2-y^2)$ o sto dicendo sciocchezze? xD
Dagli alcuni esercizi che ho visto svolti parametrizando la superfice $Sigma$ dovrei ottenere qualcosa del tipo $ sigma(x,y)=(x,y,16-x^2-y^2)$ o sto dicendo sciocchezze? xD
No, il versore normale è quello che determina la direzione della normale alla superficie e quindi varia
La parametrizzazione che hai scritto è giusta. Ora basta calcolare il versore normale: $$\hat{n} = \frac{(-f_x,-f_y,1)}{\sqrt{1+f^2_x+f^2_y}}$$.
Più in generale, avendo una parametrizzazione $\phi(u,v)$, puoi trovare il versore normale come $$\hat{n} = \frac{\phi_u \times \phi_v}{\|\phi_u \times \phi_v \|}$$
ove $\times$ indica il prodotto vettoriale. Nel tuo caso, la rappresentazione parametrica è del tipo $(u,v) \mapsto (u,v,f(u,v))$, quindi i calcoli si semplificano notevolmente e, se li svolgi, trovi la formula che ho scritto sopra.
Fatto questo, devi semplicemente calcolare l'integrale $$\int_{\Sigma} \langle f, \hat{n} \rangle d\sigma = \int \langle f(u,v), \frac{\phi_u \times \phi_v}{ \| \phi_u \times \phi_v \|} \rangle \| \phi_u \times \phi_v \| du dv = \int \langle f(u,v), \phi_u \times \phi_v \rangle du dv$$
ove $\phi$ è sempre una parametrizzazione locale. Ovviamente, nel tuo caso, il prodotto vettoriale si semplifica ed è quello che ho scritto su: $(-f_x,-f_y,1)$
Fare tutto ciò è istruttivo, ma ti consiglio di provare anche col secondo approccio, cioè usando il Teorema di Stokes:
$$\int_{\Sigma} \langle rot f, \hat{n} \rangle d \sigma = \int_{\partial\Sigma} \langle f, ds \rangle$$
dove $\partial\Sigma$ è il bordo della superficie, che in questo caso è la circonferenza $\partial\Sigma = \{ (x,y,0) \in \mathbb{R}^3 : \quad x^2+y^2=16\}$
La parametrizzazione che hai scritto è giusta. Ora basta calcolare il versore normale: $$\hat{n} = \frac{(-f_x,-f_y,1)}{\sqrt{1+f^2_x+f^2_y}}$$.
Più in generale, avendo una parametrizzazione $\phi(u,v)$, puoi trovare il versore normale come $$\hat{n} = \frac{\phi_u \times \phi_v}{\|\phi_u \times \phi_v \|}$$
ove $\times$ indica il prodotto vettoriale. Nel tuo caso, la rappresentazione parametrica è del tipo $(u,v) \mapsto (u,v,f(u,v))$, quindi i calcoli si semplificano notevolmente e, se li svolgi, trovi la formula che ho scritto sopra.
Fatto questo, devi semplicemente calcolare l'integrale $$\int_{\Sigma} \langle f, \hat{n} \rangle d\sigma = \int \langle f(u,v), \frac{\phi_u \times \phi_v}{ \| \phi_u \times \phi_v \|} \rangle \| \phi_u \times \phi_v \| du dv = \int \langle f(u,v), \phi_u \times \phi_v \rangle du dv$$
ove $\phi$ è sempre una parametrizzazione locale. Ovviamente, nel tuo caso, il prodotto vettoriale si semplifica ed è quello che ho scritto su: $(-f_x,-f_y,1)$
Fare tutto ciò è istruttivo, ma ti consiglio di provare anche col secondo approccio, cioè usando il Teorema di Stokes:
$$\int_{\Sigma} \langle rot f, \hat{n} \rangle d \sigma = \int_{\partial\Sigma} \langle f, ds \rangle$$
dove $\partial\Sigma$ è il bordo della superficie, che in questo caso è la circonferenza $\partial\Sigma = \{ (x,y,0) \in \mathbb{R}^3 : \quad x^2+y^2=16\}$
Grazie per la risposta @Antimius, ho capito come parametrizzare la circonferenza e l'ho calcolato come circuitazione. Riguardo al metodo più difficile volevo chiederti come potrei calcolarmi i due valori fx e fy? E se poi continuassi a svolgerei i calcoli farei solo un integrale doppio con dominio la circonferenza $((x,y)inR^2: x^2+y^2=16)$ giusto?
$f_x$ e $f_y$ sono semplicemente le derivate parziali di $f$
Nell'altro caso, faresti un integrale superficiale su tutto il paraboloide che, una volta parametrizzato, diventa un integrale doppio (il cui dominio dipende da come scegli la parametrizzazione, ma in questo caso è abbastanza ovvia e viene come dominio tutto il cerchio, non soltanto la circonferenza :p)
Nell'altro caso, faresti un integrale superficiale su tutto il paraboloide che, una volta parametrizzato, diventa un integrale doppio (il cui dominio dipende da come scegli la parametrizzazione, ma in questo caso è abbastanza ovvia e viene come dominio tutto il cerchio, non soltanto la circonferenza :p)
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