Integrale (analisi 1)

[ludwigZero]

Ciao ragazzi, ho un integrale che non riesco a calcolare

$\int dz/(z^3 (R^2/z^2 +1)^(3/2)) = 1/(R^2 sqrt(1+R^2/z^2))$

Io ero partito ricordando la derivata classica:

$d/dx [f(x)]^m = m (f(x)^(m-1)) f'(x)$

con $f(x)=(1+R^2/z^2)$

$m = -1/2$

ponendo questo mi verrebbe $- \int R^2 dz/(z^3 (R^2/z^2 +1)^(3/2)) $

dov'è che sbaglio?

[Berationalgetreal]

Prima di tutto un consiglio: non applicare senza ragionare regole che ricordi a memoria quando si tratta di integrali. È sempre meglio ragionare

Per questo integrale basta fare questa sostituzione:

\[ u = \frac {1}{\sqrt{\frac {R^2}{z^2} +1}} \implies \ du = \frac {R^2} {z^3\left ( \frac{R^2}{z^2} + 1 \right )^{\frac{3}{2}}} dz \]

Usà questa sostituzione e vedrai che viene

[ludwigZero]

$\int dz/(z^3 (R^2/z^2 +1)^(3/2)) = \int 1/z^3 u^3 (z^3/R^2 1/u^3 du)$

con $dz = z^3/R^2 1/u^3 du$

a me viene così, ma vien fuori un integrale $\int du$ ...

[Berationalgetreal]

Ciò che ottieni è

\[ \frac{1}{R^2} \int du = \frac{u}{R^2} + c \]

L'integrale di una costante $K$ è $Kx + c$. Del resto, la derivata di $x$ è $1$, no?

Ora non ti resta che sostituire di nuovo!

[ludwigZero]

perfetto, mi trovo ora.

nel caso che fosse un integrale definito e dovessi calcolare:

$[1/(R^2/z^2 +1)^(1/2)]_(-oo)^(+oo)$

dovrei farci i limiti, cioè:

$lim_(z->+oo) 1/(R^2/z^2 +1)^(1/2) - lim_(z->-oo) 1/(R^2/z^2 +1)^(1/2)$

secondo il risultato, dovrebbe venir 2 ... ma a me viene 0. Dove sbaglio?