Integrale al volo
non riesco a trovare il metodo per risolvere un integrale del tipo
$int1/(x^2+2)^2dx$ voi cosa mi suggerite?
$int1/(x^2+2)^2dx$ voi cosa mi suggerite?
Risposte
Ricorda che $AA a != 0$ risulta:
$1/((t^2+a^2)^2) = 1/(2a^2) (1/(t^2+a^2) + d/dt t/(t^2+a^2))$
$1/((t^2+a^2)^2) = 1/(2a^2) (1/(t^2+a^2) + d/dt t/(t^2+a^2))$
potresti provare con la sostituzione $x=sqrt2*tgt$
oppure seguire questo procedimento:
Supponiamo di voler calcolare $int1/(x^2+2)dx$ con l'integrazione per parti. allora
$int1/(x^2+2)dx=x/(x^2+2)+int(2x^2)/(x^2+2)^2dx=x/(x^2+2)+int(2x^2+4-4)/(x^2+2)^2dx=x/(x^2+2)+int(2(x^2+2)-4)/(x^2+2)^2dx$
=$x/(x^2+2)+2int1/(x^2+2)dx-4int1/(x^2+2)^2dx$. per cui abbiamo trovato che:
$int1/(x^2+2)dx=x/(x^2+2)+2int1/(x^2+2)dx-4int1/(x^2+2)^2dx$. ora portando il termine $-4int1/(x^2+2)^2dx$ al primo membro ed $int1/(x^2+2)dx$ al secondo otteniamo
$4int1/(x^2+2)^2dx=x/(x^2+2)+2int1/(x^2+2)dx-int1/(x^2+2)dx=x/(x^2+2)+int1/(x^2+2)dx=x/(x^2+2)+1/2*int1/(1+(x/(sqrt2))^2)dx$
=$x/(x^2+2)+1/2*sqrt2int(1/(sqrt2))/(1+(x/(sqrt2))^2)dx=x/(x^2+2)+sqrt2/2*arctg(x/(sqrt2))$ da cui
$int1/(x^2+2)^2dx=1/4*x/(x^2+2)+sqrt2/8*arctg(x/(sqrt2))+K$
con la sostituzione $x=sqrt2*tgt->dx=sqrt2*1/(cos^2t)dt$ per cui
$int1/(x^2+2)^2dx=int1/(2(tg^2t+1))^2*sqrt2*1/(cos^2t)dt=sqrt2/4*intcos^2tdt=sqrt2/4*[t/2+1/4*sin2t]$
Ora $t=arctg(x/(sqrt2)),sin2t=2sintcost=(2tgt)/(1+tg^2t)=(2*x/(sqrt2))/(1+x^2/2)=(2sqrt2x)/(x^2+2)$ per cui
$int1/(x^2+2)^2dx=int1/(2(tg^2t+1))^2*sqrt2*1/(cos^2t)dt=sqrt2/4*intcos^2tdt=sqrt2/4*[t/2+1/4*sin2t]=sqrt2/4*[1/2*arctg(x/(sqrt2))+1/4*(2sqrt2x)/(x^2+2)]$
=$sqrt2/8*arctg(x/(sqrt2))+1/4*x/(x^2+2)+K$
oppure seguire questo procedimento:
Supponiamo di voler calcolare $int1/(x^2+2)dx$ con l'integrazione per parti. allora
$int1/(x^2+2)dx=x/(x^2+2)+int(2x^2)/(x^2+2)^2dx=x/(x^2+2)+int(2x^2+4-4)/(x^2+2)^2dx=x/(x^2+2)+int(2(x^2+2)-4)/(x^2+2)^2dx$
=$x/(x^2+2)+2int1/(x^2+2)dx-4int1/(x^2+2)^2dx$. per cui abbiamo trovato che:
$int1/(x^2+2)dx=x/(x^2+2)+2int1/(x^2+2)dx-4int1/(x^2+2)^2dx$. ora portando il termine $-4int1/(x^2+2)^2dx$ al primo membro ed $int1/(x^2+2)dx$ al secondo otteniamo
$4int1/(x^2+2)^2dx=x/(x^2+2)+2int1/(x^2+2)dx-int1/(x^2+2)dx=x/(x^2+2)+int1/(x^2+2)dx=x/(x^2+2)+1/2*int1/(1+(x/(sqrt2))^2)dx$
=$x/(x^2+2)+1/2*sqrt2int(1/(sqrt2))/(1+(x/(sqrt2))^2)dx=x/(x^2+2)+sqrt2/2*arctg(x/(sqrt2))$ da cui
$int1/(x^2+2)^2dx=1/4*x/(x^2+2)+sqrt2/8*arctg(x/(sqrt2))+K$
con la sostituzione $x=sqrt2*tgt->dx=sqrt2*1/(cos^2t)dt$ per cui
$int1/(x^2+2)^2dx=int1/(2(tg^2t+1))^2*sqrt2*1/(cos^2t)dt=sqrt2/4*intcos^2tdt=sqrt2/4*[t/2+1/4*sin2t]$
Ora $t=arctg(x/(sqrt2)),sin2t=2sintcost=(2tgt)/(1+tg^2t)=(2*x/(sqrt2))/(1+x^2/2)=(2sqrt2x)/(x^2+2)$ per cui
$int1/(x^2+2)^2dx=int1/(2(tg^2t+1))^2*sqrt2*1/(cos^2t)dt=sqrt2/4*intcos^2tdt=sqrt2/4*[t/2+1/4*sin2t]=sqrt2/4*[1/2*arctg(x/(sqrt2))+1/4*(2sqrt2x)/(x^2+2)]$
=$sqrt2/8*arctg(x/(sqrt2))+1/4*x/(x^2+2)+K$
Davvero ottimo il primo procedimento Nicola,
non ci avevo mai pensato!
non ci avevo mai pensato!
stupefacente!! e io che pensavo di essermi dimenticato qualche metodo d'integrazione elementare!!
(beh veramente quello per sostituzione l'avrei dovuto saper fare ma sto riprendendo adesso la materia... a rilento per via di un lavoretto che sto facendo in questi ultimi giorni)
prima di questo pensavo che ogni funzione polinomiale potesse essere integrata senza troppi problemi, ma non avevo considerato il caso in cui essa non fosse la derivata di un logaritmo
(beh veramente quello per sostituzione l'avrei dovuto saper fare ma sto riprendendo adesso la materia... a rilento per via di un lavoretto che sto facendo in questi ultimi giorni)
prima di questo pensavo che ogni funzione polinomiale potesse essere integrata senza troppi problemi, ma non avevo considerato il caso in cui essa non fosse la derivata di un logaritmo
"Reynolds":
Davvero ottimo il primo procedimento Nicola,
non ci avevo mai pensato!
Quoto, mi piace trovare la soluzione anche facendo giri un po' strani. E bravo Nicola!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo