Integrale ad una dimensione per area sfera
Ciao ragazzi ho pensato di poter calcolare l'area della sfera nel seguente modo, può andare bene concettualmente?
prendo la sfera di raggio R ed immagino di dividerla a fette piccolissime di spessore $ Rdalpha $ (con $ alpha $ un angolo piccolissimo) e raggio $ R*sen(alpha) $. Dato che parlo di piccole "dimensioni" posso approssimare queste fette a cilindri e calcolare la loro area come quella di un cilindro. poi integro l'area infinitesima da zero a pigreco.
prendo la sfera di raggio R ed immagino di dividerla a fette piccolissime di spessore $ Rdalpha $ (con $ alpha $ un angolo piccolissimo) e raggio $ R*sen(alpha) $. Dato che parlo di piccole "dimensioni" posso approssimare queste fette a cilindri e calcolare la loro area come quella di un cilindro. poi integro l'area infinitesima da zero a pigreco.
Risposte
E' un metodo molto da fisico, ma mi sembra dia la risposta corretta. Per non sprecare questo commento e continuare a fare propaganda alla cosa, ti invito a venire a conoscenza con l'analisi non-standard, un impianto dell'analisi classica dove questo genere di manipolazioni sono perfettamente formali.
L'analisi non standard ti fa capire come puoi eventualmente formalizzare questi passaggi ma non ti fa capire perché possono funzionare o no. Invece, sempre se non si vuole sprecare il commento, io piuttosto cercherei esempi in cui un ragionamento apparentemente analogo non fornisce il risultato corretto (prova ad esempio con la superficie laterale del cono).
Bisogna fare qualche conto, ma perché non dovrebbe dare la risposta corretta?
Ovviamente se lo imposti nel modo "corretto" da' il risultato giusto, ma siccome in questi argomenti c'e' un piccolo margine di arbitrarietà su cosa e' piccolo e/o assimilabile a un d qualcosa e' possibile entrare in errore. Ricordo di aver visto un esempio relativo all'area laterale del cono tempo fa in cui e' facile sbagliarsi, andrebbe ricostruito, il mio scopo era lasciarlo come esercizio a matteo_g.
"Luca.Lussardi":
Ovviamente se lo imposti nel modo "corretto" da' il risultato giusto, ma siccome in questi argomenti c'e' un piccolo margine di arbitrarietà su cosa e' piccolo e/o assimilabile a un d qualcosa e' possibile entrare in errore.
Sono d'accordo su questo punto. Ad esempio, nel caso in questione, Matteo ha approssimato una fettina di sfera corrispondente all'angolo $d\theta$ con un cilindro di altezza $d\theta$. Chiaramente queste due figure geometriche sono diverse ed hanno una superficie diversa, quindi non è ovvio che integrando i cilindretti alla fine si ritroverà la sfera. È in questo passaggio che potrebbe nascondersi un errore.
[highlight]Nel caso in questione, la superficie del cilindretto e quella della fettina di sfera sono uguali al primo ordine in $d\theta$, ed è per quello che alla fine tutto funziona. Qui c'è una risposta recente di Vulplaisir in cui la cosa è spiegata bene con un disegno.[/highlight]
Se si fa questa analisi al primo ordine, il metodo darà sempre la risposta corretta. Infatti, anche se si usa un linguaggio basato sul concetto scivoloso di "infinitesimo" (Fioravante Patrone direbbe che è un metodo "urang-utang") , i conti fatti potrebbero essere riscritti rigorosamente in termini di cambiamento di variabile negli integrali. Più precisamente, l'osservazione contenuta nel testo evidenziato è esattamente la formula di cambiamento di variabile. Sto parlando della formula \(\int_a^b f(g(x))\frac{dg}{dx}\, dx = \int_{g(a)}^{g(b)}f(y)\, dy\), abbreviata comunemente in
\[
y=g(x),\quad dy = \frac{dg}{dx}\, dx, \]
che difatti è una formula al primo ordine, nel senso che dipende solo dalla derivata prima di \(g\) e non dalle derivate superiori.
Quanto al cono, sarebbe proprio interessante ricostruire questo argomento fallace. Il cono contiene un punto singolare, la punta, e potrebbe essere lì il problema.
ho capito ragazzi, grazie mille per la risposta. Ora per curiosità voglio fare l'esercizio che mi avete proposto del cono. In caso di problema vi scrivo!!
Grazie ancora!
Grazie ancora!
quindi Con l'analisi non standard se ho capito bene non ci sono quindi regole vere e proprie per capire se la strada che abbiamo preso ci fornisce il risultato corretto?
Non credo sia necessario essere così drastici, tuttavia è vero che si dovrebbe controllare con attenzione tutti i passaggi coinvolti nel conto (i punti singolari di un cono sono comunque "di misura zero" su tutto il cono: eliminali, e l'area della figura "bucata" rimarrà la stessa).
Nel caso della superficie della sfera, il metodo dei cilindretti funziona, ma già con il volume...
Esatto, in ogni caso non e' un problema di regolarita' (cono bucato o no) ma e' proprio il problema dell'approssimazione come bene diceva dissonance.
Ciao Vulplasir,
Perché dici ciò?
Già su ELEMENTI DI ANALISI MATEMATICA di Roberto Ferrauto - Testo di complementi di matematica per la IV e la V classe dei licei scientifici del 1983, paragrafo 43 - Sul volume della sfera alle pagine 69 e 70 compare il calcolo del volume della sfera basato proprio sul metodo dei cilindretti: qualora interessasse quando ho un po' di tempo posso anche riportarlo...
"Vulplasir":
Nel caso della superficie della sfera, il metodo dei cilindretti funziona, ma già con il volume...
Perché dici ciò?
Già su ELEMENTI DI ANALISI MATEMATICA di Roberto Ferrauto - Testo di complementi di matematica per la IV e la V classe dei licei scientifici del 1983, paragrafo 43 - Sul volume della sfera alle pagine 69 e 70 compare il calcolo del volume della sfera basato proprio sul metodo dei cilindretti: qualora interessasse quando ho un po' di tempo posso anche riportarlo...
Si certo funziona, ma funziona quando l'elemento di volume o di superficie del cilindretto è "scelto bene", nel caso del metodo proposto da matteo_g, si è scelto un cilindretto di raggio $r=Rsinalpha$ e altezza $dh=Rdalpha$, integrando da 0 a pi si ottiene proprio $4piR^2$. Se invece con lo stesso "cilindretto" si prova a calcolare il volume, la cosa non torna, o almeno così mi pare.
Ci sono 4 modi diversi di scegliere degli elementi di volume che danno la risposta giusta: mi sembra più difficile andare a pescare l'unico che non funziona (ma funziona pure lui, mi pare: è il primo metodo, a patto di cambiare coordinate -e quindi di non trascurare lo jacobiano del cambio, che non è un'isometria-).
"killing_buddha":
Ci sono 4 modi diversi di scegliere degli elementi di volume che danno la risposta giusta: mi sembra più difficile andare a pescare l'unico che non funziona (ma funziona pure lui, mi pare: è il primo metodo, a patto di cambiare coordinate -e quindi di non trascurare lo jacobiano del cambio, che non è un'isometria-).
Ma io mi domando se tutto questo abbia un senso.
La mia risposta è che è solo una curiosità, uno sfizio, per chi riesce a fare i conti giusti senza gli infitessimi, e vuol vedere se se la cava anche usando questa antichissima strada.
Serve allo studente? Mi riferisco allo studente medio (ma anche meglio del medio). No. Non gli serve. Gli si fa solo perdere tempo dietro delle robe inutili. Mi sto riferendo allo studente genericamente di materie scientifiche, o che più propriamente abbia bisogno di acquisire una decente padronanza di metodi di base di analisi matematica. Se invece uno studente (di matematica) è proprio bravo, e vuol divertirsi, mettersi alla prova, faccia pure. Penso che ci siano cose più interessanti da fare per diventare sempre più bravi in matematica, ma la sapienza collettiva per prosperare ha un bisogno inestinguibile di diversità.
Come argomentano ultrabene dissonance e Luca.Lussardi, non è che questi infinitessimi si possano maneggiare tanto a spanne. Insomma, per me è uno sporco gioco di chi SA che qualcosa viene così (gliel'hanno garantito dei matematici che fanno il loro normale lavoro) e FA FINTA di arrivarci con gli infinitessimi. Facendo così credere di essere pure bravo.
PS
Ah, e te pareva che killing_buddha non si sentisse in dovere di menzionare l'analisi non standard, che c'entra come i cavoli a merenda, a questo livello del discorso. Non se l'è sentita di citarla nel thread in cui avevo minacciato di fulminare con lo sguardo chiunque l'avesse menzionata, e sperava di poterlo fare di nascosto qui.
Non se l'è sentita di citarla nel thread in cui avevo minacciato di fulminare con lo sguardo chiunque l'avesse menzionata, e sperava di poterlo fare di nascosto qui.
Esiste davvero un thread siffatto? Come ha fatto a sfuggirmi? Corro subito a vandalizzarlo parlando di funtori!
Serve allo studente? Mi riferisco allo studente medio (ma anche meglio del medio). No. Non gli serve. Gli si fa solo perdere tempo dietro delle robe inutili.
E' curioso che questo sembri suggerire che la matematica vada fatta a misura dello studente che la vuole imparare. Tuttavia, siccome c'è di fondo una questione ideologica a sostenere entrambi, sarebbe un errore addentrarsi nel discorso.
Io, comunque, mi limitavo a notare che è possibile che i maneggi sportivi dei fisici ammettano una formalizzazione in una qualche estensione della teoria "calcolo differenziale elementare"; che questa estensione, le sue diramazioni e le conseguenze dell'averla eseguita siano incomprensibili ad uno studente è irrilevante: la matematica si fa per fare altra matematica; chi non la capisce, se non la capisce, studierà di più fino a capirla.
O detta in altri termini, stiamo disquisendo della possibilità di dare una definizione, non della possibilità di farlo in maniera elementare. Soprattutto perché non tutto è piegabile a questa necessità didattiva: e per fortuna! Se nella tua giornata tipo non ci fosse anche quella matematica che è ancora troppo difficile per il tuo livello tecnico, e che ti costringe a studiare altro per capirla e padroneggiarla, finiresti a fare che so, teoria dei g-
Ooops, scusa, ho lasciato una pentola sul fuoco.
"killing_buddha":
...
E' curioso che questo sembri suggerire che la matematica vada fatta a misura dello studente che la vuole imparare. Tuttavia, siccome c'è di fondo una questione ideologica a sostenere entrambi, sarebbe un errore addentrarsi nel discorso.
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Solo un commento su questo.
Di certo suggerisco che la risposta a una domanda formulata in un forum sia commisurata al livello di preparazione di chi ha fatto la domanda.
Quanto alla questione più generale, l'insegnamento è un processo che non vedo come non possa tenere presente le condizioni di partenza. Non è mica che si offende la matematica se si cerca di renderla comprensibile a "chi si ha davanti".
Di sicuro insegnare la matematica è qualcosa di diverso dal mostrare "quanto sono bravo, guarda quante cose che so io e non tu", anche se è presumibile e sperabile che il docente sappia qualcosa in più del discente
L'insegnamento deve tenere presente anche dove si vuole far arrivare il discente, non solo da dove parte: la muscolatura si potenzia traumatizzandola.
"Vulplasir":
Se invece con lo stesso "cilindretto" si prova a calcolare il volume, la cosa non torna, o almeno così mi pare.
Dopo anni, mi sono imbattuto proprio in questo errore e mi sono ricordato di questo thread e di questo intervento di Vulplasir.
Semplificando un po', non mi tornavano i conti perché stavo assumendo che il volume della sfera di raggio \(1\) in \(\mathbb R^3\) è dato dall'integrale
\[\tag{1}
2\int_{0}^1 (1- z)^2 \pi \, dz. \]
La logica è che la semisfera superiore \(\{x^2+y^2+z^2\le 1\, ,\, z\ge 0\}\) è "l'unione" di "infiniti cilindretti" di altezza infinitesima \(dz\), ciascuno dei quali ha per base un cerchio di raggio \(1-z\). Il volume della semisfera superiore, quindi, dovrebbe essere dato da quell'integrale, e moltiplicando per \(2\) si dovrebbe ottenere il volume della sfera intera.
Solo che la (1) vale \(\frac23 \pi\), mentre il volume corretto è \(\frac43 \pi\) (mi dicono che c'era una filastrocca per ricordare questa formula: "in Italia c'è il duce e c'è il re \ quattro terzi pi greco erre tre"). Questo errore mi ha fatto perdere un mare di tempo. Si vede che questa interpretazione coi cilindretti è troppo rozza e mi sono perso un fattore di \(2\) da qualche parte.
@dissonance, il raggio di base del cilindro dovrebbe essere $r=\sqrt{1-z^2}$, a meno che io non abbia frainteso quello che intendessi dire.
In ogni caso, alla fin fine questo metodo di affettare l'insieme per cilindretti mi ricorda troppo il metodo di integrazione per strati, o ancora il principio di Cavalieri.
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