Integrale ad una dimensione per area sfera
Ciao ragazzi ho pensato di poter calcolare l'area della sfera nel seguente modo, può andare bene concettualmente?
prendo la sfera di raggio R ed immagino di dividerla a fette piccolissime di spessore $ Rdalpha $ (con $ alpha $ un angolo piccolissimo) e raggio $ R*sen(alpha) $. Dato che parlo di piccole "dimensioni" posso approssimare queste fette a cilindri e calcolare la loro area come quella di un cilindro. poi integro l'area infinitesima da zero a pigreco.
prendo la sfera di raggio R ed immagino di dividerla a fette piccolissime di spessore $ Rdalpha $ (con $ alpha $ un angolo piccolissimo) e raggio $ R*sen(alpha) $. Dato che parlo di piccole "dimensioni" posso approssimare queste fette a cilindri e calcolare la loro area come quella di un cilindro. poi integro l'area infinitesima da zero a pigreco.
Risposte
Ma guarda un po', che fesso che sono, avevo sbagliato il teorema di Pitagora. Aggiustando il calcolo come suggerisci si ottiene il risultato corretto; la misura della semisfera è uguale a
\[
\int_0^1 \pi(1-z^2)\, dz= \pi -\pi/3.\]
Si, è esattamente lo stesso, ecco perché i conti tornano. Supponiamo di voler calcolare il volume del solido di rotazione
\[
C=\{(x, y, z)\ :\ \sqrt{x^2+y^2}\le f(z)\}, \]
dove il profilo \(f\) è una funzione sufficientemente regolare e definita su \([a, b]\). Passando a coordinate cilindriche vediamo che tale volume è dato da
\[
\iiint_C\, dxdydz=\iiint r\mathbf 1_{\{r\le f(z)\}}\, drd\theta dz, \]
e usando Fubini, l'ultimo integrale è pari a
\[
\int_0^{2\pi}d\theta \int_a^b dz \int_0^{f(z)} r\,dr, \]
ovvero \(\pi\int_a^b (f(z))^2\, dz\), la formula del principio di Cavalieri, nonché quella predetta dall'approssimare \(C\) con cilindretti di raggio \(f(z)\) e altezza \(dz\).
\[
\int_0^1 \pi(1-z^2)\, dz= \pi -\pi/3.\]
mi ricorda troppo il metodo di integrazione per strati, o ancora il principio di Cavalieri.
Si, è esattamente lo stesso, ecco perché i conti tornano. Supponiamo di voler calcolare il volume del solido di rotazione
\[
C=\{(x, y, z)\ :\ \sqrt{x^2+y^2}\le f(z)\}, \]
dove il profilo \(f\) è una funzione sufficientemente regolare e definita su \([a, b]\). Passando a coordinate cilindriche vediamo che tale volume è dato da
\[
\iiint_C\, dxdydz=\iiint r\mathbf 1_{\{r\le f(z)\}}\, drd\theta dz, \]
e usando Fubini, l'ultimo integrale è pari a
\[
\int_0^{2\pi}d\theta \int_a^b dz \int_0^{f(z)} r\,dr, \]
ovvero \(\pi\int_a^b (f(z))^2\, dz\), la formula del principio di Cavalieri, nonché quella predetta dall'approssimare \(C\) con cilindretti di raggio \(f(z)\) e altezza \(dz\).
Ciao dissonance, sono traumatizzato da questo post perché ho provato a usare la stessa strategia per calcolare la misura della superficie della sfera mancando completamente il bersaglio. Se considero la superficie laterale del cilindro di altezza infinitesima e provo a calcolare l'integrale, il risultato è completamente sballato. Non sono riuscito a giustificare questa discrepanza, tu hai qualche idea?
Scrivo l'integrale che ho ottenuto
$2\int_0^1 2\pi\sqrt{1-z^2}dz$
Dovrei ottenere la misura della superficie della sfera di raggio 1, ma wolfram alpha mi dà torto.
Suppongo che io stia trascurando qualche risultato importante di teoria della misura... O forse approssimare una superficie regolare come quella della sfera con qualcosa che non è nemmeno continuo fa sballare tutto. Non so, non mi è mai capitato di pensarci approfonditamente e questa anomalia mi lascia molto perplesso.
Scrivo l'integrale che ho ottenuto
$2\int_0^1 2\pi\sqrt{1-z^2}dz$
Dovrei ottenere la misura della superficie della sfera di raggio 1, ma wolfram alpha mi dà torto.
Suppongo che io stia trascurando qualche risultato importante di teoria della misura... O forse approssimare una superficie regolare come quella della sfera con qualcosa che non è nemmeno continuo fa sballare tutto. Non so, non mi è mai capitato di pensarci approfonditamente e questa anomalia mi lascia molto perplesso.
Secondo me il problema è che quegli elementi di superficie NON sono tangenti alla sfera. Intuitivamente, l'elemento di superficie \(dS\) è "l'area di un quadratino infinitesimo tangente alla sfera". Siccome siamo a livello infinitesimo, il quadratino può essere sostituito con qualunque altra figura avente la stessa area al primo ordine, un cerchietto, un triangolino, etc... Ma deve essere tangente.
In ogni caso questo thread è un buon esempio di come, ragionando in modo urang-utang, talvolta si finisce per perdere più tempo che facendo le cose in modo rigoroso. Nel caso della sfera, invece di continuare così, meglio vedere la definizione. La sfera è una varietà Riemanniana di dimensione 2. Chiamiamo \(g\) il suo tensore metrico, ottenuto per restrizione del tensore metrico \(dx^2+dy^2+dz^2\) di \(\mathbb R^3\). Per definizione, l'elemento di superficie sulla sfera è
\[
dS=\sqrt{g}d y_1 dy_2, \]
dove \(y_1, y_2\) sono coordinate locali e \(\sqrt{g}\) è il determinante della matrice associata a \(g\) in queste coordinate locali.
Tu vuoi esprimere la superficie della sfera come un integrale in \(dz\). La \(z\) da sola non basta a parametrizzare la sfera, dobbiamo introdurre un'altra coordinata. A me piace parametrizzare \(\xi\in \mathbb S^2\) come
\[
\xi=z e_3 + \sqrt{1-z^2}\omega,\qquad z\in[-1,1],\ \omega\in\mathbb S^1.\]
Qui chiaramente \(\mathbb S^1\) denota la circonferenza unitaria nel piano \(\{z=0\}\), e \(e_3=(0,0,1)\). Abbiamo quindi parametrizzato la sfera in funzione di \(z, \omega\). Adesso dobbiamo calcolare il tensore metrico e a me piace farlo osservando che
\[
dx^2+dy^2+dz^2=\lvert d\mathbf x\rvert^2, \qquad \mathbf x=(x, y, z).\]
Quindi, ciò che dobbiamo fare è calcolare \(\lvert d\xi\rvert^2\), ed avremo il nostro tensore metrico. Ma questo è facile perché c'è molta ortogonalità;
\[
\begin{split}
\lvert d\xi\rvert^2&= \left\lvert dz e_3 +\frac{-z}{\sqrt{1-z^2}}dz\,\omega + \sqrt{1-z^2}d\omega\right\rvert^2\\
&=\frac{dz^2}{1-z^2} + (1-z^2)d\omega^2.
\end{split}
\]
Qui abbiamo usato che \(\omega\cdot d\omega=\omega\cdot e_3=d\omega\cdot e_3=0\), come si può osservare differenziando la relazione \(\omega\cdot \omega=1\) e la relazione \(\omega\cdot e_3=0\), notando che \(de_3=0\). Inoltre, ovviamente, \(\lvert \omega\rvert^2=\lvert e_3\rvert^2=1\).
Ora che abbiamo il tensore metrico, possiamo calcolare l'elemento di superficie. La matrice \(g\) rispetto alle coordinate \((z, \omega)\) è data da
\[
\begin{bmatrix} (1-z^2)^{-1} & 0 \\ 0 & (1-z^2)\end{bmatrix}, \]
quindi il suo determinante è \(1\). Concludiamo che
\[
dS=dzd\omega, \]
e quindi che l'area della semisfera superiore è data da
\[
\int_0^1 \int_{\mathbb S^1} dzd\omega=2\pi,\]
che è il risultato corretto.
Questo metodo è più lungo, ma più affidabile, e funziona in tutte le dimensioni. Per inciso, sulla sfera \(\mathbb S^{d-1}\) il tensore metrico risulterebbe essere
\[
\lvert d\xi\rvert^2=\frac{dz^2}{1-z^2} + (1-z^2)\lvert d\omega\rvert^2, \qquad z\in[-1, 1], \omega\in \mathbb S^{d-2},\]
quindi la differenza rispetto a prima è solo che adesso \(\omega\in \mathbb S^{d-2}\). Quando si calcola il determinante, quindi, si ottiene \((1-z^2)^{d-2}\), e l'elemento di superficie è
\[
dS_{\mathbb S^{d-1}}= (1-z^2)^\frac{d-2}{2}dzdS_{\mathbb S^{d-2}}.\]
In ogni caso questo thread è un buon esempio di come, ragionando in modo urang-utang, talvolta si finisce per perdere più tempo che facendo le cose in modo rigoroso. Nel caso della sfera, invece di continuare così, meglio vedere la definizione. La sfera è una varietà Riemanniana di dimensione 2. Chiamiamo \(g\) il suo tensore metrico, ottenuto per restrizione del tensore metrico \(dx^2+dy^2+dz^2\) di \(\mathbb R^3\). Per definizione, l'elemento di superficie sulla sfera è
\[
dS=\sqrt{g}d y_1 dy_2, \]
dove \(y_1, y_2\) sono coordinate locali e \(\sqrt{g}\) è il determinante della matrice associata a \(g\) in queste coordinate locali.
Tu vuoi esprimere la superficie della sfera come un integrale in \(dz\). La \(z\) da sola non basta a parametrizzare la sfera, dobbiamo introdurre un'altra coordinata. A me piace parametrizzare \(\xi\in \mathbb S^2\) come
\[
\xi=z e_3 + \sqrt{1-z^2}\omega,\qquad z\in[-1,1],\ \omega\in\mathbb S^1.\]
Qui chiaramente \(\mathbb S^1\) denota la circonferenza unitaria nel piano \(\{z=0\}\), e \(e_3=(0,0,1)\). Abbiamo quindi parametrizzato la sfera in funzione di \(z, \omega\). Adesso dobbiamo calcolare il tensore metrico e a me piace farlo osservando che
\[
dx^2+dy^2+dz^2=\lvert d\mathbf x\rvert^2, \qquad \mathbf x=(x, y, z).\]
Quindi, ciò che dobbiamo fare è calcolare \(\lvert d\xi\rvert^2\), ed avremo il nostro tensore metrico. Ma questo è facile perché c'è molta ortogonalità;
\[
\begin{split}
\lvert d\xi\rvert^2&= \left\lvert dz e_3 +\frac{-z}{\sqrt{1-z^2}}dz\,\omega + \sqrt{1-z^2}d\omega\right\rvert^2\\
&=\frac{dz^2}{1-z^2} + (1-z^2)d\omega^2.
\end{split}
\]
Qui abbiamo usato che \(\omega\cdot d\omega=\omega\cdot e_3=d\omega\cdot e_3=0\), come si può osservare differenziando la relazione \(\omega\cdot \omega=1\) e la relazione \(\omega\cdot e_3=0\), notando che \(de_3=0\). Inoltre, ovviamente, \(\lvert \omega\rvert^2=\lvert e_3\rvert^2=1\).
Ora che abbiamo il tensore metrico, possiamo calcolare l'elemento di superficie. La matrice \(g\) rispetto alle coordinate \((z, \omega)\) è data da
\[
\begin{bmatrix} (1-z^2)^{-1} & 0 \\ 0 & (1-z^2)\end{bmatrix}, \]
quindi il suo determinante è \(1\). Concludiamo che
\[
dS=dzd\omega, \]
e quindi che l'area della semisfera superiore è data da
\[
\int_0^1 \int_{\mathbb S^1} dzd\omega=2\pi,\]
che è il risultato corretto.
Questo metodo è più lungo, ma più affidabile, e funziona in tutte le dimensioni. Per inciso, sulla sfera \(\mathbb S^{d-1}\) il tensore metrico risulterebbe essere
\[
\lvert d\xi\rvert^2=\frac{dz^2}{1-z^2} + (1-z^2)\lvert d\omega\rvert^2, \qquad z\in[-1, 1], \omega\in \mathbb S^{d-2},\]
quindi la differenza rispetto a prima è solo che adesso \(\omega\in \mathbb S^{d-2}\). Quando si calcola il determinante, quindi, si ottiene \((1-z^2)^{d-2}\), e l'elemento di superficie è
\[
dS_{\mathbb S^{d-1}}= (1-z^2)^\frac{d-2}{2}dzdS_{\mathbb S^{d-2}}.\]
"dissonance":
...
è sempre un piacere leggerti.
[ot]Grazie Anto, che piacere. Se sei in Sicilia goditela un po' pure per me.[/ot]
"dissonance":
Supponiamo di voler calcolare il volume del solido di rotazione
\[
C=\{(x, y, z)\ :\ \sqrt{x^2+y^2}\le f(z)\}, \]
dove il profilo \(f\) è una funzione sufficientemente regolare e definita su \([a, b]\). [...]
Il che, a sua volta, mi riporta qui.
Ciao a tutti. Volevo ringraziare dissonance per il suo post. Non ho ancora tutti gli strumenti per comprenderlo a pieno, però almeno so cosa devo cercare e cosa devo approfondire. Grazie mille. Nei prossimi giorni riprendo il libro di Geometria differenziale e ristudio tutto.
@Mathita: Secondo me non occorre. Pensare di "ristudiare tutto", per incertezza, è un tipico comportamento mio, e penso che sia un ottimo modo per finire intrappolati nella tana del coniglio. A volte è meglio fare da sé, piuttosto che cercare aiuto sui libri, e secondo me questo è uno di quei casi.
Tranquillo dissonance 
Approfondisco quando ho un po' di tempo. Se vedo che la questione diventa spinosa, tendo a pensarci nei momenti morti della giornata, ma non diventa una fissazione. Poi... Ho visitato spesso la tana del bianconiglio ed è un posto che mi piace. L'importante è saperne uscire e pazientare fino a quando non si hanno gli elementi per esaminarla meglio.
Approfondisco quando ho un po' di tempo. Se vedo che la questione diventa spinosa, tendo a pensarci nei momenti morti della giornata, ma non diventa una fissazione. Poi... Ho visitato spesso la tana del bianconiglio ed è un posto che mi piace. L'importante è saperne uscire e pazientare fino a quando non si hanno gli elementi per esaminarla meglio.
se solo avessi letto il link citato da @dissonance 3 anni fa......
"anto_zoolander":
se solo avessi letto il link citato da @dissonance 3 anni fa......
...non sarebbe cambiato niente. Cascare nella tana del coniglio è una esperienza negativa, ma è una esperienza che bisogna fare in prima persona. Se io avessi letto quel link prima di iniziare a studiare matematica, non avrebbe catturato la mia attenzione, e immagino sarebbe capitato lo stesso anche a te.
Penso tu abbia ragione.
[ot]E' una cosa che mi ha sempre buttato giù perché mi rendo conto che se non ci fossi cascato(e ancora oggi ci casco) avrei avuto modo di dedicarmi ad uno studio più "omogeneo".
Per esempio durante analisi3 mi sono innamorato così tanto della parte teorica di TdM che ho "perso" tempo nel capire e dimostrare teoremi che nemmeno era richiesto che io sapessi, lasciando da parte alcuni esercizi che sarebbero potuti essere importanti.
"doveva annà così"
[/ot]
[ot]E' una cosa che mi ha sempre buttato giù perché mi rendo conto che se non ci fossi cascato(e ancora oggi ci casco) avrei avuto modo di dedicarmi ad uno studio più "omogeneo".
Per esempio durante analisi3 mi sono innamorato così tanto della parte teorica di TdM che ho "perso" tempo nel capire e dimostrare teoremi che nemmeno era richiesto che io sapessi, lasciando da parte alcuni esercizi che sarebbero potuti essere importanti.
"doveva annà così"
[/ot]
Eccomi di nuovo. Rinnovo il ringraziamento a dissonance per la sua dettagliata risposta. Ho ripreso in mano il libro di Geometria differenziale e ho praticamente capito quasi tutto quanto.
Dopo aver letto questa parte di messaggio, mi è partito un facepalm che ha sentito l'intero palazzo. Deve essere tangente perché dev'essere possibile prendere due vettori non paralleli del piano tangente e calcolare la norma del loro prodotto vettore per calcolare l'elemento d'area. Qualcuno potrebbe obiettare che la suddetta norma coincida con l'area di un parallelogramma, e non con l'area di una generica figura geometrica piana. Suppongo che qui si giochi un po' con i teoremi di equiestensione o comunque con qualche risultato di teoria della misura. Sto farneticando, non è così?
Bello, bello, bello! Ho avuto un momento di crisi perché non riuscivo a vedere geometricamente la parametrizzazione. Poi ho capito: dovrebbero essere le coordinate geografiche. Se fisso $z$ e faccio variare $\omega$ ho un parallelo. Se, al contrario, faccio variare $z$ e mantengo fisso $\omega$, ho un meridiano.
Tra l'altro, se si considera il piano tangente a un punto della superficie sferica, e se si proiettano il meridiano e il parallelo che individuano il punto di tangenza sul piano, si ottengono due enti perpendicolari (nel punto di tangenza). Davvero Figo.
Nota a margine: ho l'impressione che tu abbia costruito una sorta di prolungamento continuo di una biezione differenziabile tra la superficie cilindrica (con $z\in (-1,1)$ e raggio di base 1) e la superficie sferica di raggio 1 (esclusi i poli). È corretto?
Fantastico! Grazie mille. Grazie a questo esempio mi è pure più chiaro il concetto di tensore metrico e ho capito l'importanza della prima forma fondamentale. Nel momento in cui l'ho studiata, non ho colto molto bene la questione.
"dissonance":
Secondo me il problema è che quegli elementi di superficie NON sono tangenti alla sfera. Intuitivamente, l'elemento di superficie \(dS\) è "l'area di un quadratino infinitesimo tangente alla sfera". Siccome siamo a livello infinitesimo, il quadratino può essere sostituito con qualunque altra figura avente la stessa area al primo ordine, un cerchietto, un triangolino, etc... Ma deve essere tangente.
Dopo aver letto questa parte di messaggio, mi è partito un facepalm che ha sentito l'intero palazzo. Deve essere tangente perché dev'essere possibile prendere due vettori non paralleli del piano tangente e calcolare la norma del loro prodotto vettore per calcolare l'elemento d'area. Qualcuno potrebbe obiettare che la suddetta norma coincida con l'area di un parallelogramma, e non con l'area di una generica figura geometrica piana. Suppongo che qui si giochi un po' con i teoremi di equiestensione o comunque con qualche risultato di teoria della misura. Sto farneticando, non è così?
"dissonance":
In ogni caso questo thread è un buon esempio di come, ragionando in modo urang-utang, talvolta si finisce per perdere più tempo che facendo le cose in modo rigoroso. Nel caso della sfera, invece di continuare così, meglio vedere la definizione. La sfera è una varietà Riemanniana di dimensione 2. Chiamiamo \(g\) il suo tensore metrico, ottenuto per restrizione del tensore metrico \(dx^2+dy^2+dz^2\) di \(\mathbb R^3\). Per definizione, l'elemento di superficie sulla sfera è
\[
dS=\sqrt{g}d y_1 dy_2, \]
dove \(y_1, y_2\) sono coordinate locali e \(\sqrt{g}\) è il determinante della matrice associata a \(g\) in queste coordinate locali.
Tu vuoi esprimere la superficie della sfera come un integrale in \(dz\). La \(z\) da sola non basta a parametrizzare la sfera, dobbiamo introdurre un'altra coordinata. A me piace parametrizzare \(\xi\in \mathbb S^2\) come
\[
\xi=z e_3 + \sqrt{1-z^2}\omega,\qquad z\in[-1,1],\ \omega\in\mathbb S^1.\]
Qui chiaramente \(\mathbb S^1\) denota la circonferenza unitaria nel piano \(\{z=0\}\), e \(e_3=(0,0,1)\). Abbiamo quindi parametrizzato la sfera in funzione di \(z, \omega\).
Bello, bello, bello! Ho avuto un momento di crisi perché non riuscivo a vedere geometricamente la parametrizzazione. Poi ho capito: dovrebbero essere le coordinate geografiche. Se fisso $z$ e faccio variare $\omega$ ho un parallelo. Se, al contrario, faccio variare $z$ e mantengo fisso $\omega$, ho un meridiano.
Tra l'altro, se si considera il piano tangente a un punto della superficie sferica, e se si proiettano il meridiano e il parallelo che individuano il punto di tangenza sul piano, si ottengono due enti perpendicolari (nel punto di tangenza). Davvero Figo.
Nota a margine: ho l'impressione che tu abbia costruito una sorta di prolungamento continuo di una biezione differenziabile tra la superficie cilindrica (con $z\in (-1,1)$ e raggio di base 1) e la superficie sferica di raggio 1 (esclusi i poli). È corretto?
Adesso dobbiamo calcolare il tensore metrico e a me piace farlo osservando che
\[
dx^2+dy^2+dz^2=\lvert d\mathbf x\rvert^2, \qquad \mathbf x=(x, y, z).\]
Quindi, ciò che dobbiamo fare è calcolare \(\lvert d\xi\rvert^2\), ed avremo il nostro tensore metrico. Ma questo è facile perché c'è molta ortogonalità;
\[
\begin{split}
\lvert d\xi\rvert^2&= \left\lvert dz e_3 +\frac{-z}{\sqrt{1-z^2}}dz\,\omega + \sqrt{1-z^2}d\omega\right\rvert^2\\
&=\frac{dz^2}{1-z^2} + (1-z^2)d\omega^2.
\end{split}
\]
Qui abbiamo usato che \(\omega\cdot d\omega=\omega\cdot e_3=d\omega\cdot e_3=0\), come si può osservare differenziando la relazione \(\omega\cdot \omega=1\) e la relazione \(\omega\cdot e_3=0\), notando che \(de_3=0\). Inoltre, ovviamente, \(\lvert \omega\rvert^2=\lvert e_3\rvert^2=1\).
Ora che abbiamo il tensore metrico, possiamo calcolare l'elemento di superficie. La matrice \(g\) rispetto alle coordinate \((z, \omega)\) è data da
\[
\begin{bmatrix} (1-z^2)^{-1} & 0 \\ 0 & (1-z^2)\end{bmatrix}, \]
quindi il suo determinante è \(1\). Concludiamo che
\[
dS=dzd\omega, \]
e quindi che l'area della semisfera superiore è data da
\[
\int_0^1 \int_{\mathbb S^1} dzd\omega=2\pi,\]
che è il risultato corretto.
Questo metodo è più lungo, ma più affidabile, e funziona in tutte le dimensioni. Per inciso, sulla sfera \(\mathbb S^{d-1}\) il tensore metrico risulterebbe essere
\[
\lvert d\xi\rvert^2=\frac{dz^2}{1-z^2} + (1-z^2)\lvert d\omega\rvert^2, \qquad z\in[-1, 1], \omega\in \mathbb S^{d-2},\]
quindi la differenza rispetto a prima è solo che adesso \(\omega\in \mathbb S^{d-2}\). Quando si calcola il determinante, quindi, si ottiene \((1-z^2)^{d-2}\), e l'elemento di superficie è
\[
dS_{\mathbb S^{d-1}}= (1-z^2)^\frac{d-2}{2}dzdS_{\mathbb S^{d-2}}.\]
Fantastico! Grazie mille. Grazie a questo esempio mi è pure più chiaro il concetto di tensore metrico e ho capito l'importanza della prima forma fondamentale. Nel momento in cui l'ho studiata, non ho colto molto bene la questione.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo