Integrale a due variabili
In un compito d'esame ho questo esercizio.
"Disegnare il grafico delle funzioni $F(x)= \int_{0}^{x} f(t) dt$ con $ f(x) = e^(-x^2)$ . Rispondere alle seguenti domande sulla funzione a due variabili $ G(x,y) = \int_{0}^{x^2 + y^2} f(t) dt $
a) scrivere G mediante F
b) Determinare le derivate parziali prime e seconde di G, usando la regola della derivazione delle funzioni composte
c) Determinare gradiente e matrice Hessiana di G nell'origine e dedurre se l'origine è un punto di estremo locale o un punto di sella
d) Dopo aver giustificato che G è vincolata all'ellisse $ (x^2)/4 + (y^2)/9 = 1 $ ammette massimo e minimo, determinare i punti di massimo e minimo vincolato usando i moltiplicatori di Lagrange
e) Dopo aver verificato che le circonferenze centrate nell'origine sono linee di livello per G, si dimostri , usando il grafico di F, che G ha minimo globale , non ha massimo ed è limitata.
Allora io ho fatto così, vorrei sapere se va bene !
a) $ G(x,y) = \int_{0}^{x^2 + y^2 } F'(t) dt = \int_{0}^{x^2 + y^2 } e^(-t^2) dt $
b) La regola della funzione composta dice che , con $ a(x,y) = x^2 + y^2$ , $ G'(t) = a'(t) * f(a(t))$ quindi le rispettive derivate parziali
rispetto a x è $ 2x* e^(-(x^2 + y^2))$
rispetto a y $ 2y * e^(-(x^2 + y^2))$
c) Il gradiente centrato nell'origine viene 0, quindi risulta essere un punto critico. Dopo averlo classificato con l'Hessiana, che mi viene $((2,0),(0,2))$ , vedo che è un punto di minimo.
d) Visto il grafico di f, posso dire che intersecandolo con l'ellisse ottengo un insieme compatto, quindi per Weiestrass ammette massimo e minimo.
Ho cercato di risolvere con i moltiplicatori di Lagrange ma mi vengono dei conti astrusi, e ricavo che il moltiplicatore $\lambda = e^(-(x^2 + y^2)) * sqrt(4x^2 + 9y^2)$ ma non credo che sia giusto
e) non so da che parte rifarmi ...
"Disegnare il grafico delle funzioni $F(x)= \int_{0}^{x} f(t) dt$ con $ f(x) = e^(-x^2)$ . Rispondere alle seguenti domande sulla funzione a due variabili $ G(x,y) = \int_{0}^{x^2 + y^2} f(t) dt $
a) scrivere G mediante F
b) Determinare le derivate parziali prime e seconde di G, usando la regola della derivazione delle funzioni composte
c) Determinare gradiente e matrice Hessiana di G nell'origine e dedurre se l'origine è un punto di estremo locale o un punto di sella
d) Dopo aver giustificato che G è vincolata all'ellisse $ (x^2)/4 + (y^2)/9 = 1 $ ammette massimo e minimo, determinare i punti di massimo e minimo vincolato usando i moltiplicatori di Lagrange
e) Dopo aver verificato che le circonferenze centrate nell'origine sono linee di livello per G, si dimostri , usando il grafico di F, che G ha minimo globale , non ha massimo ed è limitata.
Allora io ho fatto così, vorrei sapere se va bene !
a) $ G(x,y) = \int_{0}^{x^2 + y^2 } F'(t) dt = \int_{0}^{x^2 + y^2 } e^(-t^2) dt $
b) La regola della funzione composta dice che , con $ a(x,y) = x^2 + y^2$ , $ G'(t) = a'(t) * f(a(t))$ quindi le rispettive derivate parziali
rispetto a x è $ 2x* e^(-(x^2 + y^2))$
rispetto a y $ 2y * e^(-(x^2 + y^2))$
c) Il gradiente centrato nell'origine viene 0, quindi risulta essere un punto critico. Dopo averlo classificato con l'Hessiana, che mi viene $((2,0),(0,2))$ , vedo che è un punto di minimo.
d) Visto il grafico di f, posso dire che intersecandolo con l'ellisse ottengo un insieme compatto, quindi per Weiestrass ammette massimo e minimo.
Ho cercato di risolvere con i moltiplicatori di Lagrange ma mi vengono dei conti astrusi, e ricavo che il moltiplicatore $\lambda = e^(-(x^2 + y^2)) * sqrt(4x^2 + 9y^2)$ ma non credo che sia giusto
e) non so da che parte rifarmi ...
Risposte
Per il punto a ) io avrei scritto semplicemente che G(x,y)= F(x^2+y^2), mi sembra che vada bene.
b) e c) direi che sono ok.
d)
Il gradiente di G(x,y) è quindi :
$\nabla G = (2x(e^(x^2+y^2)),2y(e^(x^2+y^2)))$
Il gradiente del vincolo $M(x,y) = 1$ cioè $x^2/4+y^2/9=1$ è
$\nabla M = (x/2, 2/9y)$.
Il gradiente di G possiamo pensarlo così: $\nabla G = (2xK, 2yK)= 2K(x,y)$ dove K non ci interessa cos'è, pensiamola come una costante.
Quindi la prima condizione dei moltiplicatori di L. è
$\nablaG = \lambda \nabla M$
cioè
$2K(x,y)=\lambda(x/2, 2/9y)$
Raggruppiamo tutte queste costanti che complicano la vita $\mu = (\lambda)/(2K)$
Questo è un piccolo sistemino:
${(x=\mu x/2),(y=\mu2/9y):}$
Dovrebbe esserti chiaro che le soluzioni sono solo $xy=0$, i due assi cartesiani x e y.
Ora finisci tu...
Per il punto e) ti fanno vedere che le curve di livello sono dei cerchi, quindi se mi metto su un raggio che parte dal centro (uno qualsiasi) tutti gli altri raggi si comportano uguale.
Prendiamo ad es. al raggio che corrisponde al semiasse positivo x: $G(x,0), \ x>0$
Che ha minino l'abbiamo già visto, che non ha massimo lo vedi siccome l'integranda è sempre >0, che sarebbe la derivata della G, quindi la derivata positiva significa che è sempre crescente.
Vedere che è limitata è un po' più difficile, ma se prendi una maggiorazione H di cui sai calcolare l'integrale, ad es.
$H(x)=\int_0^(oo)e^(-x)dx \ge G(x)=\int_0^(oo)e^(-x^2)dx$
concludi che $G\leH $
b) e c) direi che sono ok.
d)
Il gradiente di G(x,y) è quindi :
$\nabla G = (2x(e^(x^2+y^2)),2y(e^(x^2+y^2)))$
Il gradiente del vincolo $M(x,y) = 1$ cioè $x^2/4+y^2/9=1$ è
$\nabla M = (x/2, 2/9y)$.
Il gradiente di G possiamo pensarlo così: $\nabla G = (2xK, 2yK)= 2K(x,y)$ dove K non ci interessa cos'è, pensiamola come una costante.
Quindi la prima condizione dei moltiplicatori di L. è
$\nablaG = \lambda \nabla M$
cioè
$2K(x,y)=\lambda(x/2, 2/9y)$
Raggruppiamo tutte queste costanti che complicano la vita $\mu = (\lambda)/(2K)$
Questo è un piccolo sistemino:
${(x=\mu x/2),(y=\mu2/9y):}$
Dovrebbe esserti chiaro che le soluzioni sono solo $xy=0$, i due assi cartesiani x e y.
Ora finisci tu...
Per il punto e) ti fanno vedere che le curve di livello sono dei cerchi, quindi se mi metto su un raggio che parte dal centro (uno qualsiasi) tutti gli altri raggi si comportano uguale.
Prendiamo ad es. al raggio che corrisponde al semiasse positivo x: $G(x,0), \ x>0$
Che ha minino l'abbiamo già visto, che non ha massimo lo vedi siccome l'integranda è sempre >0, che sarebbe la derivata della G, quindi la derivata positiva significa che è sempre crescente.
Vedere che è limitata è un po' più difficile, ma se prendi una maggiorazione H di cui sai calcolare l'integrale, ad es.
$H(x)=\int_0^(oo)e^(-x)dx \ge G(x)=\int_0^(oo)e^(-x^2)dx$
concludi che $G\leH $
Scusa ma perchè e come si fa il gradiente nel vincolo? Non l'avevo mai sentito !
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