Integrale
ciao,
mi potete aiutare con questo integrale?
$\int_0^infty arctan(sqrt(7x))/((1+7x)sqrt(7x))$
ho sostituito la radice con t e così si semplifica la radice a denominatore,mi esce l'integrale dell'arcotangente di t per la sua derivata ma poi? integrare l'arctg non riesco perchè tra 0 e infinito non va. il risultato è pigreco^2 / 28.
grazie
mi potete aiutare con questo integrale?
$\int_0^infty arctan(sqrt(7x))/((1+7x)sqrt(7x))$
ho sostituito la radice con t e così si semplifica la radice a denominatore,mi esce l'integrale dell'arcotangente di t per la sua derivata ma poi? integrare l'arctg non riesco perchè tra 0 e infinito non va. il risultato è pigreco^2 / 28.
grazie
Risposte
"apogeowave":
ciao,
mi potete aiutare con questo integrale?
$\int_0^infty arctan(sqrt(7x))/((1+7x)sqrt(7x))$
ho sostituito la radice con t e così si semplifica la radice a denominatore,mi esce l'integrale dell'arcotangente di t per la sua derivata ma poi? integrare l'arctg non riesco perchè tra 0 e infinito non va. il risultato è pigreco^2 / 28.
grazie
Cosa intendi per "tra 0 e infinito non va"? Fai attenzione, visto che qua non hai solo l'arcotangente, ma anche qualcosa al denominatore.
Quando l'integrale è improprio (in questo caso i "problemi" sono sia in 0 che in $infty$) si deve studiare prima la convergenza: se l'integrale non converge non ha senso perdere tempo provando a calcolarlo!
Beh questo converge..
"Giuly19":
Beh questo converge..
Appunto, è non è proprio in virtù di questo fatto che dire "l'arcotangente non si può integrare tra 0 e infinito" è sbagliato?
...il risultato dell'integrale è pigreco^2/28, quindi si deve arrivare a questo risultato in qualche modo.
ora sostituendo radice di 7x con t si ha: $2/7\int_0^infty (arctant)/(1+t^2)$ che si potrebbe facilmente risolvere dato che ho la funzione arcotangente moltiplicata per la sua derivata,ma essendo tra 0 e infinito non posso perchè ottengo un risultato inconcludente,non so se mi sono spiegato.
integrando per parti: f(x)= arctant g'(x)= 1+t^2 ottengo : $\2/7 (arctan^2(t) - \int_0^infty arctan(t)/(1+t^2) )$ giusto?
e ora? non posso scriverlo in modo da eliminare l'integrale rimasto?
ora sostituendo radice di 7x con t si ha: $2/7\int_0^infty (arctant)/(1+t^2)$ che si potrebbe facilmente risolvere dato che ho la funzione arcotangente moltiplicata per la sua derivata,ma essendo tra 0 e infinito non posso perchè ottengo un risultato inconcludente,non so se mi sono spiegato.
integrando per parti: f(x)= arctant g'(x)= 1+t^2 ottengo : $\2/7 (arctan^2(t) - \int_0^infty arctan(t)/(1+t^2) )$ giusto?
e ora? non posso scriverlo in modo da eliminare l'integrale rimasto?
In realtà è vero che $ int_(0)^(+oo) artg x dx = +oo$ 
E mi sa tanto che hai sbagliato qualcosa nella prima sostituzione..
E mi sa tanto che hai sbagliato qualcosa nella prima sostituzione..
a me sembra giusta la sostituzione
Infatti è giusta, scusami, l'ho risolto ora e mi veniva $pi^2 / (28*2)$ proprio per colpa di quel $2$ che mi dimenticavo nel derivare la radice.
Non capisco perchè devi integrare per parti, $int_(0)^(+oo)( arctant/(1+t^2) dt )= [1/2 arctan^2(t) ]{::}_(0)^(+oo)$ è immediato.. se vuoi sostituisci $arctan(t)=z$.
Non capisco perchè devi integrare per parti, $int_(0)^(+oo)( arctant/(1+t^2) dt )= [1/2 arctan^2(t) ]{::}_(0)^(+oo)$ è immediato.. se vuoi sostituisci $arctan(t)=z$.
grazie! ma cosa vuol dire è immediato? l'integrale di arcotangente è immediato? non lo trovo nelle tabelle...
Beh in poche parole.. è facile! Si vede subito la soluzione senza dover stare a fare sostituzioni.
Stai facendo confusione, $int_()^() arctan x dx$ si fa parti, e non c'è storia. Però:
$int_()^() arctan t/(1+t^2) dt = (int_()^() z dz)_(z=artctan t) $.
Non hai mai visto niente del genere?
Stai facendo confusione, $int_()^() arctan x dx$ si fa parti, e non c'è storia. Però:
$int_()^() arctan t/(1+t^2) dt = (int_()^() z dz)_(z=artctan t) $.
Non hai mai visto niente del genere?
"apogeowave":
...il risultato dell'integrale è pigreco^2/28, quindi si deve arrivare a questo risultato in qualche modo.
ora sostituendo radice di 7x con t si ha: $2/7\int_0^infty (arctant)/(1+t^2)$ che si potrebbe facilmente risolvere dato che ho la funzione arcotangente moltiplicata per la sua derivata,ma essendo tra 0 e infinito non posso perchè ottengo un risultato inconcludente,non so se mi sono spiegato.
integrando per parti: f(x)= arctant g'(x)= 1+t^2 ottengo : $\2/7 (arctan^2(t) - \int_0^infty arctan(t)/(1+t^2) )$ giusto?
e ora? non posso scriverlo in modo da eliminare l'integrale rimasto?
l'hai già risolto ma non te ne sei accorto
hai che $2/7\int_0^infty (arctant)/(1+t^2) = \2/7 (arctan^2(t) - \int_0^infty arctan(t)/(1+t^2) ) $
A questo punto puoi portare al primo membro l'integrale al secondo e hai fatto.
Quello che dicevo prima: non è vero che "ottieni un risultato inconcludente": tu non hai l'integrale dell'arcotangente, ma dell'arcotangente fratto qualcosa. Prova a fare il limite per x che tende a infinito della funziona integranda, e guarda un po' che cosa viene.
Per questo dicevo di studiare la convergenza prima, in ogni caso. In questo modo non ti vengono di questi dubbi.
EDIT: hai risolto, ma questo metodo a volte torna utile
grazie mille a tutti e due,siete stati gentilissimi.
è immediato perchè non devi calcolare l'integrale dell'arcotangente, ma dell'arcotangente PER la sua derivata.
è come calcolare l'integrale in dx di (sinx cosx) insomma... non è che devi ammattire integrando per parti, perchè "si vede" (tra mille virgolette, perchè se non ci hai fatto l'occhio, non si vede affatto) che quel prodotto è la derivata di [tex]- \frac{cos^2x}{2}[/tex]. o anche di [tex]\frac{sin^x}{2}[/tex], che è la stessa cosa.
è come calcolare l'integrale in dx di (sinx cosx) insomma... non è che devi ammattire integrando per parti, perchè "si vede" (tra mille virgolette, perchè se non ci hai fatto l'occhio, non si vede affatto) che quel prodotto è la derivata di [tex]- \frac{cos^2x}{2}[/tex]. o anche di [tex]\frac{sin^x}{2}[/tex], che è la stessa cosa.
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