Integrale
[tex]\int \frac{\sqrt(x)}{(1+x^4)}dx[/tex]
Da dove partire per risolvere un integrale del genere?
Da dove partire per risolvere un integrale del genere?
Risposte
Porre $x=t^2$ mi pare un modo per eliminare quella radice a numeratore e da lì ottenere un'integrale di una funzione razionale fratta.
Sì ma poi come si integra $2t^2/(1+t^8)$ ?? Il denominatore ha 8 radici complesse. Che tecniche si usano? Non mi è mai capitato.
Wolfram mi da una soluzione di 5 righe.. O.O
Aspetta forse dovrei spezzarlo in 4 fratti con denominatore di secondo grado.. Ora mi spiego la soluzione di Wolfram. Però è veramente lunghissimo!
Wolfram mi da una soluzione di 5 righe.. O.O
Aspetta forse dovrei spezzarlo in 4 fratti con denominatore di secondo grado.. Ora mi spiego la soluzione di Wolfram. Però è veramente lunghissimo!
Io farei così: [tex]$1+t^8=(1+t^4)^2-2t^4=(1+t^4-\sqrt{2} t^2)(1+t^4+\sqrt{2} t^2)$[/tex] e continuerei a decomporre i due polinomi di quarto grado in altri due polinomi di secondo grado ciascuno. Alla fine si ha
[tex]$1+t^8=\left(t^2+\sqrt{2+\sqrt{2}} t+1\right)\left(t^2-\sqrt{2+\sqrt{2}} t+1\right)\left(t^2+\sqrt{2-\sqrt{2}} t+1\right)\left(t^2-\sqrt{2-\sqrt{2}} t+1\right)$[/tex]
Alla fine, al di là del calcolo delle costanti nella decomposizione in fratti semplici, osserva che bisogna calcolare quattro integrali fondamentalmente identici della forma
[tex]$\int\frac{At+B}{t^2+at+1}\ dt$[/tex]
dove il polinomio a denominatore è non ulteriormente decomponibile. Per cui mi aspetto delle soluzioni del tipo "arcotangente" più "logaritmo del denominatore".
Da qualche parte, in un vecchio post, avevo scritto esplicitamente come si poteva giungere ad integrare una roba simile usando un po' di furbizia e le radici di un numero complesso, ma sono un vecchio arteriosclerotico e non ricordo più quale fosse il post!
[tex]$1+t^8=\left(t^2+\sqrt{2+\sqrt{2}} t+1\right)\left(t^2-\sqrt{2+\sqrt{2}} t+1\right)\left(t^2+\sqrt{2-\sqrt{2}} t+1\right)\left(t^2-\sqrt{2-\sqrt{2}} t+1\right)$[/tex]
Alla fine, al di là del calcolo delle costanti nella decomposizione in fratti semplici, osserva che bisogna calcolare quattro integrali fondamentalmente identici della forma
[tex]$\int\frac{At+B}{t^2+at+1}\ dt$[/tex]
dove il polinomio a denominatore è non ulteriormente decomponibile. Per cui mi aspetto delle soluzioni del tipo "arcotangente" più "logaritmo del denominatore".
Da qualche parte, in un vecchio post, avevo scritto esplicitamente come si poteva giungere ad integrare una roba simile usando un po' di furbizia e le radici di un numero complesso, ma sono un vecchio arteriosclerotico e non ricordo più quale fosse il post!
Vabbè avevo scritto tutto ed il pc ha deciso di impallarsi.
Comunque tizio, va che hai fatto male i conti:
[tex]1+t^8 = (1+t^4)^2-2t^4 = [(1+t^4) + \sqrt{2}t^2] [(1+t^4) - \sqrt{2}t^2][/tex]
Ora basta fare un'altra sostituzione ed usare il calcolo con le costanti.
Comunque tizio, va che hai fatto male i conti:
[tex]1+t^8 = (1+t^4)^2-2t^4 = [(1+t^4) + \sqrt{2}t^2] [(1+t^4) - \sqrt{2}t^2][/tex]
Ora basta fare un'altra sostituzione ed usare il calcolo con le costanti.
"etec83":
Vabbè avevo scritto tutto ed il pc ha deciso di impallarsi.
Comunque tizio, va che hai fatto male i conti:
[tex]1+t^8 = (1+t^4)^2-2t^4 = [(1+t^4) + \sqrt{2}t^2] [(1+t^4) - \sqrt{2}t^2][/tex]
Ora basta fare un'altra sostituzione ed usare il calcolo con le costanti.
Punto primo: non ho fatto male i conti, ho solo saltato un elevato al quadrato;
Punto secondo: tizio lo dici a tuo fratello!
Punto terzo: vorrei vedere che sostituzione fai adesso, tanto per capire come procederesti.
"ciampax":
Io farei così: [tex]$1+t^8=(1+t^4)^2-2t^4=(1+t^4-\sqrt{2} t^2)(1+t^4+\sqrt{2} t^2)$[/tex] e continuerei a decomporre i due polinomi di quarto grado in altri due polinomi di secondo grado ciascuno. Alla fine si ha
[tex]$1+t^8=\left(t^2+\sqrt{2+\sqrt{2}} t+1\right)\left(t^2-\sqrt{2+\sqrt{2}} t+1\right)\left(t^2+\sqrt{2-\sqrt{2}} t+1\right)\left(t^2-\sqrt{2-\sqrt{2}} t+1\right)$[/tex]
Alla fine, al di là del calcolo delle costanti nella decomposizione in fratti semplici, osserva che bisogna calcolare quattro integrali fondamentalmente identici della forma
[tex]$\int\frac{At+B}{t^2+at+1}\ dt$[/tex]
Continuo a non capire come hai fatto a scomporre senza far venire fuori dei numeri complessi.
Quando devi scomporre un polinomio a coefficienti reali, trovi contemporaneamente una radice complessa e la sua coniugata. Moltiplicando i due binomi corrispondenti, ottieni un trinomio di 2° grado a coefficienti reali con determinante negativo.
"speculor":
Quando devi scomporre un polinomio a coefficienti reali, trovi contemporaneamente una radice complessa e la sua coniugata. Moltiplicando i due binomi corrispondenti, ottieni un trinomio di 2° grado a coefficienti reali con determinante negativo.
Vabbè, ma questo mi pare ovvio.
Quello che non riesco a capire è come fare a scomporre
[tex](1+t^8)[/tex]
in 4 parti senza che non compaia neanche un numero complesso.
E comunque non so per me la strada più giusta è ridurre il denominatore tutto in forme da arcotangenti:
[tex]\frac{1}{4}*((\frac{t^2+\frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{1}{\sqrt{2}}})^2+1)*((\frac{t^2-\frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{1}{\sqrt{2}}})^2+1)[/tex]
anche se poi rimane il problema che il numeratore non va bene.
A me, invece, pareva ancora più ovvio che tu sapessi calcolare $root(8)(-1)$!
Dopo aver calcolato le otto radici:
$1+t^8=(t-t_1)(t-t_2)(t-t_3)(t-t_4)(t-t_5)(t-t_6)(t-t_7)(t-t_8)$
Dopo aver moltiplicato tra loro i binomi corrispondenti alle radici complesse coniugate, ottieni il prodotto di quattro trinomi di secondo grado con determinante minore di zero.
$1+t^8=(t-t_1)(t-t_2)(t-t_3)(t-t_4)(t-t_5)(t-t_6)(t-t_7)(t-t_8)$
Dopo aver moltiplicato tra loro i binomi corrispondenti alle radici complesse coniugate, ottieni il prodotto di quattro trinomi di secondo grado con determinante minore di zero.
@etec83: In generale, quando hai un integrale del tipo:
[tex]$\int R\left( x, \sqrt[m_1]{x}, \sqrt[m_2]{x},\ldots ,\sqrt[m_N]{x}\right)\ \text{d} x$[/tex],
in cui [tex]$R(x,\xi_1,\ldots ,\xi_N)$[/tex] è una funzione razionale, la sostituzione [tex]$t=\sqrt[m]{x}$[/tex], con [tex]$m=\text{mcm}(m_1,m_2,\ldots ,m_N)$[/tex], consente di ricondurre l'integrale all'integrale di una funzione razionale di [tex]$t$[/tex] il quale è sempre risolubile con tecniche elementari.
Inoltre, è cosa nota che, per far sparire della fattorizzazione complessa di un polinomio reale i fattori complessi, basta moltiplicare a coppie i fattori contenenti le radici coniugate del polinomio.
[tex]$\int R\left( x, \sqrt[m_1]{x}, \sqrt[m_2]{x},\ldots ,\sqrt[m_N]{x}\right)\ \text{d} x$[/tex],
in cui [tex]$R(x,\xi_1,\ldots ,\xi_N)$[/tex] è una funzione razionale, la sostituzione [tex]$t=\sqrt[m]{x}$[/tex], con [tex]$m=\text{mcm}(m_1,m_2,\ldots ,m_N)$[/tex], consente di ricondurre l'integrale all'integrale di una funzione razionale di [tex]$t$[/tex] il quale è sempre risolubile con tecniche elementari.
Inoltre, è cosa nota che, per far sparire della fattorizzazione complessa di un polinomio reale i fattori complessi, basta moltiplicare a coppie i fattori contenenti le radici coniugate del polinomio.
Vediamo se anche questo è ovvio.
"gugo82":
Inoltre, è cosa nota che, per far sparire della fattorizzazione complessa di un polinomio reale i fattori complessi, basta moltiplicare a coppie i fattori contenenti le radici coniugate del polinomio.
Allora
Oh sono io che interpreto male ciò che scrivete
o non so come altro spiegarmi. Voi mi dite che se ho ad esempio:
[tex](t+1-i2)(t+1+i2)=0[/tex]
allora sviluppando viene
[tex](t^2+2t+5)=0[/tex]
giusto?
Se è questo quello che intendete ho capito; ora il polinomio ha coefficienti reali.
Ma l'amico ciampax sopra ha scritto:
[tex]$1+t^8=(1+t^4)^2-2t^4=(1+t^4-\sqrt{2} t^2)(1+t^4+\sqrt{2} t^2)$[/tex]
che è un prodotto tra 2 polinomi con radici complesse, giusto?
ora come ha fatto ad arrivare ciò?
[tex]$1+t^8=\left(t^2+\sqrt{2+\sqrt{2}} t+1\right)\left(t^2-\sqrt{2+\sqrt{2}} t+1\right)\left(t^2+\sqrt{2-\sqrt{2}} t+1\right)\left(t^2-\sqrt{2-\sqrt{2}} t+1\right)$[/tex]
a parte il fatto che facendo i conti non mi tornano, ma mi chiedevo anche solo come fosse possibile scomporre 2 polinomi, con soluzioni a radici complesse, senza che le parti immaginarie non siano presenti.
Sono all'oscuro di qualche trucco particolare di cui il mio corso di analisi matematica non mi ha mai fatto regalo???
Ad esempio:
[tex]$t^4-\sqrt{2} t^2+1)=(t^2+at+1)(t^2+bt+1)=t^4+(a+b)t^3+(ab+2)t^2+(a+b)t+1$[/tex]
in cui, ponendo [tex]$a+b=0,\ ab+2=-\sqrt{2}$[/tex] si ricava [tex]$a=\sqrt{2+\sqrt{2}},\ b=-\sqrt{2+\sqrt{2}}$[/tex].
Prima di affermare che i conti non tornino, falli!
[tex]$t^4-\sqrt{2} t^2+1)=(t^2+at+1)(t^2+bt+1)=t^4+(a+b)t^3+(ab+2)t^2+(a+b)t+1$[/tex]
in cui, ponendo [tex]$a+b=0,\ ab+2=-\sqrt{2}$[/tex] si ricava [tex]$a=\sqrt{2+\sqrt{2}},\ b=-\sqrt{2+\sqrt{2}}$[/tex].
Prima di affermare che i conti non tornino, falli!
credo che ciò a cui alludesse il mitico ciampax sia questo: un metodo generale per risolvere un integrale razionale del tipo $int1/(x^alpha+1)dx$, è questo:
ad esempio considerando l' integrale di questa funzione razionale: [tex]$\frac{1}{1+x^7}=\frac{A}{x+1}+\sum_{k=1}^3\frac{B_k x+C_k}{(x-\beta_k)^2+\gamma^2_k}$[/tex]
dove in particolare si vede che
[tex]$\beta_k=\cos\frac{(2k+1)\pi}{7},\qquad \gamma_k=\sin\frac{(2k
+1)\pi}{7},\qquad k=0,1,2$[/tex]
Se $alpha$ è pari, allora si può ricorrere a stratagemmi per la scomposizione, ma se è dispari di solito si fa così, se è uguale a $3$ però si fa prima con ruffini, ma se hai un esponente dispari con grado ad esempio $5,7$ ecc, tocca fare così
ad esempio considerando l' integrale di questa funzione razionale: [tex]$\frac{1}{1+x^7}=\frac{A}{x+1}+\sum_{k=1}^3\frac{B_k x+C_k}{(x-\beta_k)^2+\gamma^2_k}$[/tex]
dove in particolare si vede che
[tex]$\beta_k=\cos\frac{(2k+1)\pi}{7},\qquad \gamma_k=\sin\frac{(2k
+1)\pi}{7},\qquad k=0,1,2$[/tex]
Se $alpha$ è pari, allora si può ricorrere a stratagemmi per la scomposizione, ma se è dispari di solito si fa così, se è uguale a $3$ però si fa prima con ruffini, ma se hai un esponente dispari con grado ad esempio $5,7$ ecc, tocca fare così
ciò che vorrei chiedere approfittando di questo thread è questa seguente cosa: mi è capitato di provare a risolvere questo tipo di integrali, ad es. $int1/(x^7+1)dx$, la scomposizione è fattibile ma risolvere il sistema per trovare i coefficienti è roba da pazzi!! quando hai 5,6 incognite, e soprattutto sistemi NON lineari c'è un modo più veloce per fare robe del genere?
"emaz92":
ciò che vorrei chiedere approfittando di questo thread è questa seguente cosa: mi è capitato di provare a risolvere questo tipo di integrali, ad es. $int1/(x^7+1)dx$, la scomposizione è fattibile ma risolvere il sistema per trovare i coefficienti è roba da pazzi!! quando hai 5,6 incognite, e soprattutto sistemi NON lineari c'è un modo più veloce per fare robe del genere?
Grazie per aver recuperato il post. In questi casi, comunque, non è possibile che ti vengano fuori sistemi non lineari!
"ciampax":
[quote="emaz92"]ciò che vorrei chiedere approfittando di questo thread è questa seguente cosa: mi è capitato di provare a risolvere questo tipo di integrali, ad es. $int1/(x^7+1)dx$, la scomposizione è fattibile ma risolvere il sistema per trovare i coefficienti è roba da pazzi!! quando hai 5,6 incognite, e soprattutto sistemi NON lineari c'è un modo più veloce per fare robe del genere?
Grazie per aver recuperato il post. In questi casi, comunque, non è possibile che ti vengano fuori sistemi non lineari![/quote]
capito, ma allora l' unica strada è cimentarsi in quei calcoli assurdi?
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