Integrale
c'è qualcuno cosi gentile che sa risolvere questo integrale:
[tex]$\int_0^{+\infty} x^{\alpha +1} e^{-\frac{x}{\beta}}\ \text{d} x$[/tex]
grazie mille in anticipo
[tex]$\int_0^{+\infty} x^{\alpha +1} e^{-\frac{x}{\beta}}\ \text{d} x$[/tex]
grazie mille in anticipo
Risposte
[mod="gugo82"]Sbagliato sezione.
Sposto in Analisi metamtica ed aggiusto le formule.
Ti chiedo di modificare il titolo, per renderlo più specifico.
Per i prossimi post, cerca di seguire le direttive date qui.[/mod]
Per quanto riguarda l'integrale, esso si riconduce facilmente alla funzione [tex]$\Gamma$[/tex] di Eulero (quella definita ponendo [tex]\Gamma (z)=\int_0^{+\infty} \tau^{z-1} e^{-\tau}\ \text{d} \tau[/tex]) col cambiamento di variabile [tex]$\tau =\tfrac{x}{\beta}$[/tex]; facendo ciò si ottiene:
[tex]$\int_{0}^{+\infty} x^{\alpha +1} e^{-\frac{x}{\beta}}\ \text{d} x = \beta^{\alpha +2}\int_0^{+\infty} \tau^{\alpha +1} e^{-\tau}\ \text{d} \tau =\beta^{\alpha +2}\ \Gamma (\alpha +2)$[/tex],
salvo errori di calcolo.
P.S.: Ma che avete in questi giorni, con queste funzioni speciali?
Sposto in Analisi metamtica ed aggiusto le formule.
Ti chiedo di modificare il titolo, per renderlo più specifico.
Per i prossimi post, cerca di seguire le direttive date qui.[/mod]
Per quanto riguarda l'integrale, esso si riconduce facilmente alla funzione [tex]$\Gamma$[/tex] di Eulero (quella definita ponendo [tex]\Gamma (z)=\int_0^{+\infty} \tau^{z-1} e^{-\tau}\ \text{d} \tau[/tex]) col cambiamento di variabile [tex]$\tau =\tfrac{x}{\beta}$[/tex]; facendo ciò si ottiene:
[tex]$\int_{0}^{+\infty} x^{\alpha +1} e^{-\frac{x}{\beta}}\ \text{d} x = \beta^{\alpha +2}\int_0^{+\infty} \tau^{\alpha +1} e^{-\tau}\ \text{d} \tau =\beta^{\alpha +2}\ \Gamma (\alpha +2)$[/tex],
salvo errori di calcolo.
P.S.: Ma che avete in questi giorni, con queste funzioni speciali?
Approfitto di questa discussione per non aprirne una nuova. Ho svolto il seguente integrale cosi:
$ int_()^() e^(2x)arctg(1/e^x) dx $ Integrando per parti ottengo $ int_()^()(e^(2x)arctg(1/e^x))dx = 1/2e^(2x)arctg(1/e^x)+1/2int_()^()e^(2x)*1/(1+1/e^(2x))*1/e^xdx= 1/2e^(2x)arctg(1/e^x)+1/2int_()^()e^(3x)/(e^(2x)+1)dx$ . Risolvo ora $int_()^()e^(3x)/(e^(2x)+1)dx$ ponendo $e^x=t$ da cui $dx=1/tdt$. Dunque l'integrale diventa $int_()^()t^3/(t^3+t)dt=int_()^()dt+int_()^()t^2dt = t+t^3/3+c= e^x+e^(3x)/3+c$. Dunque l'integrale di partenza diviene $ int_()^() e^(2x)arctg(1/e^x) dx = 1/2e^(2x)arctg(1/e^x)+1/2(e^x+e^(3x)/3)+c$. E' corretto? Grazie
$ int_()^() e^(2x)arctg(1/e^x) dx $ Integrando per parti ottengo $ int_()^()(e^(2x)arctg(1/e^x))dx = 1/2e^(2x)arctg(1/e^x)+1/2int_()^()e^(2x)*1/(1+1/e^(2x))*1/e^xdx= 1/2e^(2x)arctg(1/e^x)+1/2int_()^()e^(3x)/(e^(2x)+1)dx$ . Risolvo ora $int_()^()e^(3x)/(e^(2x)+1)dx$ ponendo $e^x=t$ da cui $dx=1/tdt$. Dunque l'integrale diventa $int_()^()t^3/(t^3+t)dt=int_()^()dt+int_()^()t^2dt = t+t^3/3+c= e^x+e^(3x)/3+c$. Dunque l'integrale di partenza diviene $ int_()^() e^(2x)arctg(1/e^x) dx = 1/2e^(2x)arctg(1/e^x)+1/2(e^x+e^(3x)/3)+c$. E' corretto? Grazie
Per verificarne la correttezza non puoi derivare la primitiva? A meno di molteplici errori che si compensano a vicenda...
"Albert Wesker 27":
$int_()^()t^3/(t^3+t)dt=int_()^()dt+int_()^()t^2dt = t+t^3/3+c= e^x+e^(3x)/3+c$.
Sbagli nella risoluzione dell'integrale ottenuto dopo la sostituzione..
[tex]$\int \frac{t^3}{t^3 +t} \ dt = \int \frac{t^2}{t^2 +1} \ dt$[/tex]
Riparti da lì.
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