Integrale

[jade87-votailprof]

Non mi viene questo integrale.. consigli?
$\int_{0}^{1/2} dx/(1+4x^2)$

Allora io direi che devo applicare un integrazione per sostituzione con: $\int 1/(1+x^2) = arctg(x)$
Devo però "eliminare" il $4$ al denominatore quindi:
$1/4 * 4 \int_{0}^{1/2} 1/(1+4x^2) dx$

$1/4 * \int_{0}^{1/2} 4/(1+4x^2) dx$

$1/4 * \int_{0}^{1/2} 1/(1+x^2) dx$

e ottengo percio:

$1/4 * \int_{0}^{1/2} arctg + c$

$1/4 * (arctg(1/2) - arctg(0))$

Il libro come risultato mi da: $pi/8$ dove lo va a prendere??

Grazie in anticipo..

[Angelo D.1]

"jade.87":$1/4 * \int_{0}^{1/2} 4/(1+4x^2) dx$

$1/4 * \int_{0}^{1/2} 1/(1+x^2) dx$

Edit:

Questo passaggio non convince, il risultato [tex]\frac{\pi}{8}[/tex] è corretto

[jade87-votailprof]

Io altre idee non ne ho.. è l'unica cosa che mi è venuta in mente..
Hai altre idee??

[Angelo D.1]

Se vuoi ottenere un integrale immediato, devi avere come funzione integranda la derivata esatta della funzione "arcotangente", infatti non capisco perchè moltiplichi e dividi per [tex]4[/tex], quando invece serve moltiplicare e dividere per [tex]2[/tex], se non hai ancora un ottima "confidenza" con gli integrali, in questo caso puoi porre la seguente sostituzione:

[tex]2x = t[/tex]

E vedi che succede

[adaBTTLS1]

se dividi per $4$, non ti rimane più $1$ al denominatore. invece devi moltiplicare e dividere per $2$, considerando $4x^2=(2x)^2=f(x)^2$, con $f'(x)=2$.
in pratica devi applicare la formula $int\(f'(x))/(1+(f(x))^2) dx =arctan(f(x))+C$. prova e facci sapere. ciao.

[jade87-votailprof]

Grazie mille.. cosi effettivamente viene!!!
Una domanda.. con trigonometria non me la cavo molto..
Alla fine arrivo ad avere:
$1/2 * arctg(1)$
Facendo i calcoli con la calcolatrice, il risultato è corretto.. ma come faccio a capire che è:
$arctg(1) = pi/4$ ??

[Angelo D.1]

In parole povere la funzione arcotangente ti chiede qual è l'arco la cui tangente è uguale a [tex]1[/tex] , cioè:

[tex]tan(x) = 1 \Rightarrow \ x = \frac{\pi}{4}[/tex] , più eventuale periodicità.

Insomma è un angolo notevole.. son cose che dovresti sapere

[poncelet]

Puoi anche ragionare così:

$tan(x)=\frac{sinx}{cosx}$ quindi affinché $tanx=1$ devi avere $\frac{sinx}{cosx}=1=>sinx=cosx$ e l'unico angolo per cui seno e coseno coincidono è proprio $pi/4+kpi$

[adaBTTLS1]

prego.
per le funzioni goniometriche inverse, si considera un intervallo (a partire da zero oppure contenente lo zero) in cui le funzioni sono strettamente monotòne (appunto per l'invertibilità). nel caso della tangente, questa assume tutti i valori reali una ed una sola volta se si considera come dominio l'intervallo $(-pi/2;+pi/2)$.
$arctan 1$ è l'unico valore dell'arco ($alpha$) o angolo in radianti, appartenente all'intervallo $(-pi/2;+pi/2)$, per cui vale $tan alpha = 1$.
come arrivare ad individuare $alpha = pi/4$ te lo hanno già detto.
spero di essere stata utile.
per confronto puoi considerare che nel caso di seno e arcoseno si considera l'intervallo $[-pi/2;+pi/2]$; per coseno e arcocoseno l'intervallo $[0;+pi]$. riflettici su.