Integrale

[dariformis]

avrei bisogno di un aiuto su questo integrale $ int(1/x)sqrt((logx)^2+1)dx $
io ho applicato la seconda regola di sostituzione ponendo $ logx=t $ e $ 1/x dx=dt $ ritrovandomi a svolgere quest integrale $ int sqrt (t^2+1)dt $ provo sostituendo $ sqrt (t^2+1)=k-t $ con relativo dt ma non mi convince...che strada mi proponete??

[Antimius]

Beh in realtà, secondo me, va bene.
Puoi anche vederla in un altro modo: se trovi la primitiva di [tex]$\sqrt{1+x^2}$[/tex], hai terminato perché in questo caso hai [tex]$f'(x) \sqrt{1+(f(x))^2}$[/tex]

[dariformis]

il mio scopo è proprio calcolare $int sqrt (x^2+1)dx$

[Sk_Anonymous]

"dariformis":avrei bisogno di un aiuto su questo integrale $ int(1/x)sqrt((logx)^2+1)dx $
io ho applicato la seconda regola di sostituzione ponendo $ logx=t $ e $ 1/x dx=dt $ ritrovandomi a svolgere quest integrale $ int sqrt (t^2+1)dt $ provo sostituendo $ sqrt (t^2+1)=k-t $ con relativo dt ma non mi convince...che strada mi proponete??

Penso che debba usare una sostituzione con le funzioni iperboliche:
sapendo che $cosh^2(t)-sinh^2(t)=1$, si ha che $cosh^2(t)=1+sinh^2(t)$; dunque puoi fare la sostituzione $x=sinh(t)$, da cui $dx=cosh(t)dt$. Poi integri per parti.
Inoltre, ti può essere utile ricordare che $cosh(t)=(e^t+e^(-t))/2$, e che $sinh(t)=(e^t-e^(-t))/2$. Insomma, smanetta un pò, il procedimento dovrebbe essere questo

[dariformis]

"Soscia":[quote="dariformis"]avrei bisogno di un aiuto su questo integrale $ int(1/x)sqrt((logx)^2+1)dx $
io ho applicato la seconda regola di sostituzione ponendo $ logx=t $ e $ 1/x dx=dt $ ritrovandomi a svolgere quest integrale $ int sqrt (t^2+1)dt $ provo sostituendo $ sqrt (t^2+1)=k-t $ con relativo dt ma non mi convince...che strada mi proponete??

Penso che debba usare una sostituzione con le funzioni iperboliche:
sapendo che $cosh^2(t)-sinh^2(t)=1$, si ha che $cosh^2(t)=1+sinh^2(t)$; dunque puoi fare la sostituzione $x=sinh(t)$, da cui $dx=cosh(t)dt$. Poi integri per parti.
Inoltre, ti può essere utile ricordare che $cosh(t)=(e^t+e^(-t))/2$, e che $sinh(t)=(e^t-e^(-t))/2$. Insomma, smanetta un pò, il procedimento dovrebbe essere questo [/quote]


ma al corso di analisi una non abbiamo mai incontrato le funzioni iperboliche! un'altra via? non c'è?

[ciampax]

Sì: poni [tex]$\sqrt{1+x^2}=x+t$[/tex].

[emaz92]

io farei: $x=tg(t)$ $dx=dt/(cos^2t)$ :$intsqrt(1+x^2)dx=intsqrt(1+tg^2t)/(cos^2t) dt=int1/(cos^3t)dt$ Lo svantaggio è che però $1/(cos^3t)$ è lungo da integrare. Si fa per parti

[dariformis]

l'ho fatto in tutti i modi...anke altri, se volete vi posto lo svolgimento, ma quando vado a derivare (usando wolfram alpha) mi esce sempre qualcosa di non riconducibile al mio integrale, forse sbaglio qualche conto non lo so...x ora vi posto il mio primo svolgimento

$ int(1/x)sqrt(log^2x+1)dx $ ponendo $ logx=t $ e $ (1/x)dx=dt $ ottengo $ intsqrt(t^2+1)dt $ da qui pongo $ sqrt(t^2+1)=k-t $ dunque $ t=(k^2-1)/(2k) $ e $ dt=(k^2+1)/(2k^2)dk $ sostituendo ottengo il seguente integrale $ int(k-(k^2-1)/(2k))((k^2+1)/(2k^2))dk $ che è = a $ int(k^2+1)^2/(4k^3)dk $ il risultato è $ k^2/8+(1/2)log|k|-1/(8k^2) $ sostituendo a k $ sqrt(t^2+1) + t $ già derivando non mi trovo....ho fatto qualche errore???

[dariformis]

"ciampax":Sì: poni [tex]$\sqrt{1+x^2}=x+t$[/tex].

grazie mille così mi trovo! viene esattamente l'opposto nel risultato e derivando mi trovo...
non mi spiego la differenza tra porre un o un altro parametro...sapete dirmi cosa cambia??...nel risultato l'ho visto, ma in teoria???