Integrale
non riesco a calcolare questo integrale:
$intcosx/(cos x+sin x)
ho provato sostituendo $t=tg(x/2)$ ma non esce
$intcosx/(cos x+sin x)
ho provato sostituendo $t=tg(x/2)$ ma non esce
Risposte
La sostituzione funziona
[tex]$
\[\sin x = \frac{{2t}}{{t^2 + 1}}\]
$[/tex]
[tex]$
\[\cos x = \frac{{1 - t^2 }}{{t^2 + 1}}\]
$[/tex]
[tex]$
\[dx = \frac{{2 \cdot dt}}{{t^2 + 1}}\]
$[/tex]
l'integrale diventa:
[tex]$
\[\int {\frac{{2 \cdot (t^2 - 1)}}{{t^4 - 2t^3 - 2t - 1}} \cdot dt} \]
$[/tex]
è un integrale di funzione razionale fratta, divertiti.
[tex]$
\[\sin x = \frac{{2t}}{{t^2 + 1}}\]
$[/tex]
[tex]$
\[\cos x = \frac{{1 - t^2 }}{{t^2 + 1}}\]
$[/tex]
[tex]$
\[dx = \frac{{2 \cdot dt}}{{t^2 + 1}}\]
$[/tex]
l'integrale diventa:
[tex]$
\[\int {\frac{{2 \cdot (t^2 - 1)}}{{t^4 - 2t^3 - 2t - 1}} \cdot dt} \]
$[/tex]
è un integrale di funzione razionale fratta, divertiti.
si fin li ero arrivata...allora ho la forma $2int[(At+B)/(1-t^2+2t)+(Ct+D)/(1+t^2)]$?
dovrebbe venire così (controlla anche tu)
[tex]$
\[\frac{{t^2 - 1}}{{t^4 - 2t^3 - 2t^2 - 1}} = \frac{A}{{t - \sqrt 2 - 1}} + \frac{B}{{t + \sqrt 2 - 1}} + \frac{{Ct + D}}{{t^2 + 1}}\]
$[/tex]
[tex]$\[\left\{ \begin{array}{l}
A = \frac{1}{4} \\
\\
B = \frac{1}{4} \\
\\
C = - \frac{1}{2} \\
\\
D = \frac{1}{2} \\
\end{array} \right.\]$[/tex]
[tex]$
\[\frac{{t^2 - 1}}{{t^4 - 2t^3 - 2t^2 - 1}} = \frac{A}{{t - \sqrt 2 - 1}} + \frac{B}{{t + \sqrt 2 - 1}} + \frac{{Ct + D}}{{t^2 + 1}}\]
$[/tex]
[tex]$\[\left\{ \begin{array}{l}
A = \frac{1}{4} \\
\\
B = \frac{1}{4} \\
\\
C = - \frac{1}{2} \\
\\
D = \frac{1}{2} \\
\end{array} \right.\]$[/tex]
ho verificato le costanti ma non si trovano..mi dici come hai fatto a scomporre $-t^2+2t+1$ in quel modo?con quale metodo?
per risolvere questo integrale non c'è un metodo piu veloce?perchè mi sembra strano che esca con tutti questi passaggi
per risolvere questo integrale non c'è un metodo piu veloce?perchè mi sembra strano che esca con tutti questi passaggi
L'integrale da calcolare è, dopo la sostituzione
[tex]$2\int\frac{1-t^2}{(1-t^2+2t)(t^2+1)}\ dt=2\int\frac{t^2-1}{(t^2-2t-1)(t^2+1)}\ dt$[/tex]
Per decomporre il trinomio di secondo grado, basta calcolare le sue radici: essendo [tex]$t=1\pm\sqrt{2}$[/tex] si ha pure [tex]$t^2-2t-1=(t-\sqrt{2}-1)(t+\sqrt{2}-1)$[/tex].
Risolvendo ottieni le costanti che ti ha suggerito piero.
Io ti suggerisco un modo alternativo: prova ad usare la sostituzione [tex]$x=y+\frac{\pi}{4}$[/tex] e vedi cosa ottieni (dovrai riscrivere le espressioni del seno e coseno).
[tex]$2\int\frac{1-t^2}{(1-t^2+2t)(t^2+1)}\ dt=2\int\frac{t^2-1}{(t^2-2t-1)(t^2+1)}\ dt$[/tex]
Per decomporre il trinomio di secondo grado, basta calcolare le sue radici: essendo [tex]$t=1\pm\sqrt{2}$[/tex] si ha pure [tex]$t^2-2t-1=(t-\sqrt{2}-1)(t+\sqrt{2}-1)$[/tex].
Risolvendo ottieni le costanti che ti ha suggerito piero.
Io ti suggerisco un modo alternativo: prova ad usare la sostituzione [tex]$x=y+\frac{\pi}{4}$[/tex] e vedi cosa ottieni (dovrai riscrivere le espressioni del seno e coseno).
Magari con un trucchetto può risultare più semplice.
[tex]\displaystyle\int\frac{\cos x}{\cos x+\sin x}\text{d}x=\frac{\sqrt{2}}{2}\int\frac{\cos x}{\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x}\text{d}x=\frac{\sqrt{2}}{2}\int\frac{\cos x}{\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)}\text{d}x=[/tex]
[tex]=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\int\frac{\cos\left(y+\frac{\pi}{4}\right)}{\cos y}\text{d}y=\frac{1}{2}\int\frac{\cos y-\sin y}{\cos y}\text{d}y=\frac{1}{2}(y+\log\cos y)=[/tex]
[tex]=\displaystyle\frac{1}{2}\left(x-\frac{\pi}{4}+\log\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\right)[/tex]
avendo posto [tex]y=x-\frac{\pi}{4}[/tex]
[tex]\displaystyle\int\frac{\cos x}{\cos x+\sin x}\text{d}x=\frac{\sqrt{2}}{2}\int\frac{\cos x}{\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x}\text{d}x=\frac{\sqrt{2}}{2}\int\frac{\cos x}{\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)}\text{d}x=[/tex]
[tex]=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\int\frac{\cos\left(y+\frac{\pi}{4}\right)}{\cos y}\text{d}y=\frac{1}{2}\int\frac{\cos y-\sin y}{\cos y}\text{d}y=\frac{1}{2}(y+\log\cos y)=[/tex]
[tex]=\displaystyle\frac{1}{2}\left(x-\frac{\pi}{4}+\log\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\right)[/tex]
avendo posto [tex]y=x-\frac{\pi}{4}[/tex]
"K.Lomax":
Magari con un trucchetto può risultare più semplice.
El Principe...
Uffa.... e io che avevo detto? 
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