Integrale

[ciuf_ciuf]

Salve, non riesco a capire come svolgere questo integrale doppio

$ int_(T)^()(x+y)/(x^2+y^2)dxdy $ dove T= { $ x^2-2x+1 <= y <= -x^2+4x-2 $ }

Io ho provato cercando i punti di intersezioni tra le due parabole in modo da integrare rispetto a x tra $ (3- sqrt(3) )/2 <= x <= (3+ sqrt(3) )/2 $ e rispetto a y tra $ x^2-2x+1 <= y <= -x^2+4x-2 $.

$ int_((3- sqrt(3) )/2)^((3+ sqrt(3) )/2) dx int_(x^2-2x+1)^(-x^2+4x-2) (x+y)/(x^2+y^2)dy $

ma nn penso proprio sia il metodo giusto visto che poi diventa molto complicato.

Qualcuno ha qualche idea su come si possa fare ? grazie in anticipo.

[Quinzio]

Il fatto che diventi complicato non vuol dire che non sia esatto.

Hai presente la dimostrazione dell'ultimo teorema di Fermat ?

[ciuf_ciuf]

Si lo so che complicato non vuol dire sbagliato, ma essendo un esercizio di un compito, dove non è possibile usare né formulari né appunti e dove la maggior parte delle volte il Prof. evita esercizi con troppi passaggi, sono abbastanza sicuro che ci deve essere qualche semplificazione o sostituzione che agevola l'integrale.

[Quinzio]

Prova con le coordinate polari, ma....
Questa volta il prof. ha giocato duro.

[ciuf_ciuf]

Vedendo la funzione dell' integrale le coordinate polari possono essere una soluzione, il problema è trasformare il domino T .

[Quinzio]

$ x = r cos\theta $

$ x^2-2x+1 = r^2(cos\theta)^2 - 2rcos\theta + 1 $

$ r_{1,2} $ lo calcoli come soluzione di una eq di 2^ grado.
Dividi l'integrazione di $\theta$ in due parti, che iniziano dove si incrociano le parabole.
Eccetera.
Non e' semplicissimo.

[ciuf_ciuf]

Io invece stavo provando con

x = 1 + rcosθ
y = rsinθ

Ma non si ricava nulla. Comunque grazie per il tempo che mi stai dedicando, mi sa che vado al ricevimento e lo chiedo direttamente al prof