Integrale

[Nidhogg]

Salve a tutti,
sono un po' arrugginito con gli integrali. Dovrei calcolare questo integrale: $int(1+sin^2(x))/(sin(x)*cos(x))dx$.
Qualche suggerimento?

Saluti,
Ermanno.

[rbtqwt]

Hai, usando $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$,
$\int (1+\sin^2 x)/(\sin x \cos x) dx = \int (\cos^2 x)/(\sin x \cos x) dx + 2\int (\sin^2 x)/(\sin x \cos x) dx = \int (\cos x)/(\sin x) dx + 2\int (\sin x)/(\cos x) dx$.
Per il primo, ad esempio, hai $\int (\cos x)/(\sin x) dx = \int (d\sin x)/(\sin x) = \ln|\sin x| + c$, e in modo simile risolvi il secondo.

[gugo82]

Il tutto si può anche razionalizzare con la sostituzione [tex]$t=\tan x$[/tex] (visto che l'integrando è funzione razionale di [tex]$\sin^2 x, \cos^2 x, \sin x\cos x$[/tex]): infatti si ha:

[tex]$1+\sin^2 x=1+\frac{t^2}{1+t^2}=\frac{1+2t^2}{1+t^2}$[/tex],
[tex]$\sin x\cos x=\frac{t}{1+t^2}$[/tex],
[tex]$\text{d} x =\frac{1}{1+t^2} \ \text{d} t$[/tex].

Non è la strada più veloce, ma sicuramente conduce al risultato.