Integrale (63026)

[16chicca90]

calcola l'esistenza dell'integrale nell'intervallo:

integrale ((xlogx)/(sqrt(x^2-1)^3))

interale è da 1 a (+infinito)

[ciampax]

L'integrale, se ho capito bene, è il seguente:

[math]\int_1^{+\infty}\frac{x\log x}{\sqrt{(x^2-1)^3}}\ dx[/math]

Ora, la funzione integranda presenta problemi sia nel punto 1 che all'infinito: analizziamo separatamente i due casi.

Per

[math]x=1[/math]

hai, con il confronto locale

[math]$f(x)\sim\frac{\log x}{\sqrt{((x+1)^3(x-1)^3}}\sim\frac{\log x}{\sqrt{8(x-1)^3}}[/math]

da cui, operando il cambiamento di variabile

[math]x=t+1,\ x\to 1\Rightarrow\ t\to 0[/math]

si ha

[math]\sim \frac{\log(1+t)}{\sqrt{8t^3}}\sim\frac{t}{2\sqrt{2} t^{3/2}}=\frac{1}{2\sqrt{2} t^{1/2}}[/math]

(ho usato il fatto che

[math]\log(1+t)\sim t[/math]

). L'ultima funzione risulta integrabile in zero, quindi anche la funzione di partenza risulta integrabile in 1.

Per il comportamento all'infinito invece poniamo

[math]x=1/t[/math]

in modo che per

[math]x\to +\infty\Rightarrow t\to 0^+[/math]

. Allora si ha

[math]g(t)=f(1/t)=-\frac{\log t}{t\sqrt{(1-t^2)^3/t^6}}=-\frac{t^5\log t}{\sqrt{(1-t^2)^3}}\sim -t^5\log t[/math]

Ora, con un rapido calcolo, si ha

[math]\int_0^a t^5\log t\ dt=\left[\frac{t^6}{6}\log t\right]_0^a-\int_0^a\frac{t^5}{6}\ dt=\frac{a^6\log a}{6}-\left[t^6}{36}\right]_0^a=\frac{a^6}{36}\left(6\log a-1\right)[/math]

(questo perché

[math]\lim_{t\to 0^+} t^6\log t=0[/math]

) per cui questo integrale converge in

[math]t=0[/math]

e quindi la funzione originale converge in

[math]x=+\infty[/math]