Integrale

[matteomors]

Salve a tutti, ecco il mio esercizio:

Calcolare l'integrale $int_D z dV$ con $D$ definito da:

$z^2-y^2-x^2>=1$ e $0<=z<=2$ dalle quali ricavo che $sqrt(1+x^2+y^2)<=z<=2$.

A questo punto imposto il mio integrale triplo:

$int dxdy int_{sqrt(1+x^2+y^2)}^2 dz$

facendo i calcoli nell'integrale più interno risulta:$1/2 int 3-x^2-y^2 dxdy$.

Poi sostituisco con le coordinate polari.

A questo punto il piccolo problema:

al prof viene $\pi int_0^sqrt(3) (3r-r^3) dr$ .L'unica cosa che non capisco è quel $\pi$ li fuori...non dovrei metterci $int_0^{2\pi} d\theta$ e poi l'altro integrale?
Perchè svolgendo i calcoli non mi sembra venga uguale...grazie!

[misanino]

"matteomors":Salve a tutti, ecco il mio esercizio:

Calcolare l'integrale $int_D z dV$ con $D$ definito da:

$z^2-y^2-x^2>=1$ e $0<=z<=2$ dalle quali ricavo che $sqrt(1+x^2+y^2)<=z<=2$.

A questo punto imposto il mio integrale triplo:

$int dxdy int_{sqrt(1+x^2+y^2)}^2 dz$

facendo i calcoli nell'integrale più interno risulta:$1/2 int 3-x^2-y^2 dxdy$.

Poi sostituisco con le coordinate polari.

A questo punto il piccolo problema:

al prof viene $\pi int_0^sqrt(3) (3r-r^3) dr$ .L'unica cosa che non capisco è quel $\pi$ li fuori...non dovrei metterci $int_0^{2\pi} d\theta$ e poi l'altro integrale?
Perchè svolgendo i calcoli non mi sembra venga uguale...grazie!

Avresti $int_0^{2\pi} d\theta$ che fa $2\pi$. Ma c'era $1/2$ fuori dall'integrale e quindi resta $\pi$