Integrale
Salve a tutti,ho da poco cominciato lo studio di integrali doppi e tripli ecco un esercizio del quale non son sicuro della sua risoluzione.
Vi ringrazio anticipatamente per il vostro aiuto, ecco l'esercizio:
Calcolare l'area della porzione di piano $x+y=z$ contenuta nell'insieme $z>=x^2+y^2$.
Io procedo così:
ricavo che $x^2+y^2<=x+y$ e di conseguenza avrò questo integrale:
$int dxdy int_{x^2+y^2}^{x+y}dz$ che corrispone a $int x+y-x^2-y^2 dxdy$
a questo punto trasformo la funzione integranda in questa forma: $(x-1/2)^2+(y-1/2)^2-1/2=0$
Utilizzo le coordinale polari $x=rcos\theta$ $y=rsin\theta$ con le quali ricavo che r varia in questo intervallo:$0
A questo punto dovrebbe essere un semplice integrale doppio del tipo: $int_0^{2\pi} d\theta int_0^{1/sqrt(2)} (1/2-r^2)r dr$
che errori ho commesso
?
Vi ringrazio anticipatamente per il vostro aiuto, ecco l'esercizio:
Calcolare l'area della porzione di piano $x+y=z$ contenuta nell'insieme $z>=x^2+y^2$.
Io procedo così:
ricavo che $x^2+y^2<=x+y$ e di conseguenza avrò questo integrale:
$int dxdy int_{x^2+y^2}^{x+y}dz$ che corrispone a $int x+y-x^2-y^2 dxdy$
a questo punto trasformo la funzione integranda in questa forma: $(x-1/2)^2+(y-1/2)^2-1/2=0$
Utilizzo le coordinale polari $x=rcos\theta$ $y=rsin\theta$ con le quali ricavo che r varia in questo intervallo:$0
A questo punto dovrebbe essere un semplice integrale doppio del tipo: $int_0^{2\pi} d\theta int_0^{1/sqrt(2)} (1/2-r^2)r dr$
che errori ho commesso
?
Risposte
mmh.. mi sfugge come tu abbia fatto a trovare $0 < r < 1/sqrt(2)$, applicando quelle polari. Per ottenere tale risultato dovresti applicare:
$x = 1/2 + rcos\theta$
$y = 1/2 + rsen\theta$
e poi l' argomento dell' ultimo integrale che hai scritto da dove viene ?
$x = 1/2 + rcos\theta$
$y = 1/2 + rsen\theta$
e poi l' argomento dell' ultimo integrale che hai scritto da dove viene ?
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