Integrale
Ciao a tutti qualcuno di voi sa dirmi come si calcola il seguente integrale?
$\int_{0}^{2\pi} \sqrt (1-sin t) \quad dt$
grazie ciao
$\int_{0}^{2\pi} \sqrt (1-sin t) \quad dt$
grazie ciao
Risposte
Ad esempio, potrebbe essere utile tenere presente che [tex]$\sin t=\cos \left( \frac{\pi}{2} -t\right)$[/tex] e che [tex]$2\sin^2 \frac{u}{2} =1-\cos u$[/tex]... Però può darsi ci siano sostituzioni più immediate che ora non mi sovvengono.
Io farei la sostituzione $sen(t)=x$.
In tal modo derivando da ambo i lati $cos(t)dt=dx$
Ora $cos^2(t)=(1-sen^2(t))=(1-x^2)$
quindi suddividi il tuo integrale tra 0 e $\pi$ in pezzi in modo tale che il coseno sia positivo o negativo.
Ad esempio puoi fare $\int_{0}^{2\pi} \sqrt (1-sin t) \quad dt=\int_{0}^{\pi/2} \sqrt (1-sin t) \quad dt+\int_{\pi/2}^{3/2\pi} \sqrt (1-sin t) \quad dt+\int_{3/2\pi}^{2\pi} \sqrt (1-sin t) \quad dt$
In tal modo in ognuno di questi pezzi si avrà $cos(t)=sqrt(1-x^2)$ oppure $cos(t)=-sqrt(1-x^2)$
La tua funzione da integrare diventa quindi
$sqrt(1-x)/(+-sqrt(1-x^2))=sqrt(1-x)/(+-sqrt(1-x)sqrt(1+x))=1/(+-sqrt(1+x))$
che si integra immediatamente
In tal modo derivando da ambo i lati $cos(t)dt=dx$
Ora $cos^2(t)=(1-sen^2(t))=(1-x^2)$
quindi suddividi il tuo integrale tra 0 e $\pi$ in pezzi in modo tale che il coseno sia positivo o negativo.
Ad esempio puoi fare $\int_{0}^{2\pi} \sqrt (1-sin t) \quad dt=\int_{0}^{\pi/2} \sqrt (1-sin t) \quad dt+\int_{\pi/2}^{3/2\pi} \sqrt (1-sin t) \quad dt+\int_{3/2\pi}^{2\pi} \sqrt (1-sin t) \quad dt$
In tal modo in ognuno di questi pezzi si avrà $cos(t)=sqrt(1-x^2)$ oppure $cos(t)=-sqrt(1-x^2)$
La tua funzione da integrare diventa quindi
$sqrt(1-x)/(+-sqrt(1-x^2))=sqrt(1-x)/(+-sqrt(1-x)sqrt(1+x))=1/(+-sqrt(1+x))$
che si integra immediatamente
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