Integrale
Ciao a tutti! Sto cercando di risolvere questo integrale
[tex]\displaystyle\int_{-\infty}^{\phi^{-1}(u)}\int_{-\infty}^{\phi^{-1}(v)}\frac{1}{2\pi}e^{-\tfrac{x^2+y^2}{2}}dxdy.[/tex]
Ho provato a fare la sostituzione in polari ma non ci sono riuscito, ho provato anche a fare prima una traslazione in modo da avere come estremi di integrazione $0$ e $\-infty$ e poi passare in polari ma l'integrando viene cmq incasinato!!
Qualcuno mi può aiutare? sì può risolvere queto integrale?
[tex]\displaystyle\int_{-\infty}^{\phi^{-1}(u)}\int_{-\infty}^{\phi^{-1}(v)}\frac{1}{2\pi}e^{-\tfrac{x^2+y^2}{2}}dxdy.[/tex]
Ho provato a fare la sostituzione in polari ma non ci sono riuscito, ho provato anche a fare prima una traslazione in modo da avere come estremi di integrazione $0$ e $\-infty$ e poi passare in polari ma l'integrando viene cmq incasinato!!
Qualcuno mi può aiutare? sì può risolvere queto integrale?
Risposte
L'integrale della gaussiana si risolve con le coordinate polari solo quando è esteso a tutta la retta reale. Nel tuo caso ti devi accontentare del risultato espresso in termini della funzione degli errori (e non degli orrori).
ok, però la funzione degli errori (dal link che mi hai dato) è definita su $\mathbb{R}$, mentre su $\mathbb{R}^2$? E non solo, sempre dal link che mi hai dato, la funzione Erfe ha all'interno l'integrale da 0 a x, mentre nel mio caso ho l'integrale da $-\infty$ a $x$.
In poche parole, potresti spiegarmi meglio come poter appicare la funzione degli errore?
p.s. le coordinate polari per la gaussiana in 2 dimensioni si possono di sicuro usare se ho l'integrale da $-\infty$ a $0$, o da $-\infty$ a $+\infty$, o da $0$ a $+\infty$ e la risoluzione della gaussiana risulta essere banale.
In poche parole, potresti spiegarmi meglio come poter appicare la funzione degli errore?
p.s. le coordinate polari per la gaussiana in 2 dimensioni si possono di sicuro usare se ho l'integrale da $-\infty$ a $0$, o da $-\infty$ a $+\infty$, o da $0$ a $+\infty$ e la risoluzione della gaussiana risulta essere banale.
"cippo":
ok, però la funzione degli errori (dal link che mi hai dato) è definita su $\mathbb{R}$, mentre su $\mathbb{R}^2$? E non solo, sempre dal link che mi hai dato, la funzione Erfe ha all'interno l'integrale da 0 a x, mentre nel mio caso ho l'integrale da $-\infty$ a $x$.
In poche parole, potresti spiegarmi meglio come poter appicare la funzione degli errore?
p.s. le coordinate polari per la gaussiana in 2 dimensioni si possono di sicuro usare se ho l'integrale da $-\infty$ a $0$, o da $-\infty$ a $+\infty$, o da $0$ a $+\infty$ e la risoluzione della gaussiana risulta essere banale.
Checcavolo, non ti ha insegnato nessuno a separare gli integrali??
$1/(2 pi) int_(-oo)^(phi^(-1)(u))int_(-oo)^(phi^(-1)(v)) e^(- (x^2+y^2)/2)"d"x"d"y= 1/(sqrt(2pi))int_(-oo)^(phi^(-1)(v)) e^(-x^2/2)"d"x * 1/(sqrt(2pi))int_(-oo)^(phi^(-1)(u)) e^(-y^2/2)"d"y=1/4 [1+"erf"((phi^(-1)(u))/(sqrt2))] [1+"erf"((phi^(-1)(v))/(sqrt2))] $
Per la questione degli estremi dell'integrale: la gaussiana è più simmetrica che mai, quindi
$1/(sqrt(2 pi))int_(-oo)^x e^(-t^2/2)"d"t= 1- 1/(sqrt(2pi)) int_(x)^(oo) e^(-t^2/2)"d"t=1/2 + 1/2"erf"(x/(sqrt2))$.
ok giusto! che babbo non avevo pensato a separare gli integrale! grazie 
però, si potrebbe anche solo separare gli integrali e non utilizzare la funzione degli errori e ottenere
[tex]\dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{-\infty}^{\phi^{-1}(u)}\int_{-\infty}^{\phi^{-1}(v)} e^{- (x^2+y^2)/2}dxdy=\phi(u)\cdot\phi(v).[/tex]
[tex]\dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{-\infty}^{\phi^{-1}(u)}\int_{-\infty}^{\phi^{-1}(v)} e^{- (x^2+y^2)/2}dxdy=\phi(u)\cdot\phi(v).[/tex]
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