Integrale

[Lorin1]

$int(1/(1+x^2)^2)dx$

sto trovando difficoltà nel farlo in quanto sul mio libro (Alvino, Trombetti) mi suggerisce di applicare una formula, che in pratica ti permette di trovare subito la soluzione, ma poichè la prof all'esame non ci farà usare formule, ma vuole i passaggi, vorrei capire come posso impostarlo per trovare la soluzione.

Thanx

[gugo82]

Beh, comincia sommando e sottraendo $x^2$ al numeratore e spezzando la frazione; in tal modo hai un pezzo che va in arcotangente ed un pezzo con integrando $x^2/(1+x^2)^2$; quest'ultimo lo puoi integrare per parti con fattore differenziale $x/(1+x^2)^2$ e fattore finito $x$... Un altro po' di passaggi ed hai finito.

P.S.: Che formula suggerisce il libro? Non la ricordo...

[dancing4ever]

io invece farei la sostutuzione (a prima vista):

$t=1+x^2$
$x^2=t-1$
$x=sqrt(t-1)$
$dx=1/(2*sqrt(t-1)$

da qui vai a sostituire tutto nell'integrale e portando fuori il numero, cioè 1/2, trovi un integrale del tipo:

$1/2int(1/t^2 dt)=1/2int(t^(-2) dt)$ e da qui risolvi velocemente, ricordati che nella soluzione di risostituire per averla in x e non in t

[Aliseo1]

"dancing4ever":io invece farei la sostutuzione (a prima vista):

$t=1+x^2$
$x^2=t-1$
$x=sqrt(t-1)$
$dx=1/(2*sqrt(t-1)$

da qui vai a sostituire tutto nell'integrale e portando fuori il numero, cioè 1/2, trovi un integrale del tipo:

$1/2int(1/t^2 dt)=1/2int(t^(-2) dt)$ e da qui risolvi velocemente, ricordati che nella soluzione di risostituire per averla in x e non in t

Al massimo avrai un integrale del tipo $ 1/2 \int 1/(t^2\sqrt(t-1))dt $

[Lorin1]

"Gugo82":Beh, comincia sommando e sottraendo $x^2$ al numeratore e spezzando la frazione; in tal modo hai un pezzo che va in arcotangente ed un pezzo con integrando $x^2/(1+x^2)^2$; quest'ultimo lo puoi integrare per parti con fattore differenziale $x/(1+x^2)^2$ e fattore finito $x$... Un altro po' di passaggi ed hai finito.

P.S.: Che formula suggerisce il libro? Non la ricordo...

Mi dice di sostituire con $1/(2n-2)x/(1+x^2)^(n-1)+(2n-3)/(2n-2)int1/(1+x^2)^(n-1)dx$

per quanto riguarda la sostituzione ho notato che vado comunque a complicare le cose, mentre ringrazio Gugo per lo spunto e la spiegazione, sono riuscito a risolverlo. Thanx